Question

Um fabricante produzirá caixas fechadas (com tampa) de volume igual a 2727 cm 3 e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Encontre as dimensões da caixa de forma que o consumo de material seja mínimo.​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Um fabricante produzirá caixas fechadas com tampa de volume igual a $2727~cm^3$ e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura.

Devemos encontrar as dimensões da caixa de modo que o consumo de material seja mínimo.

Primeiro, consideremos que a caixa será um paralelepípedo cujas medidas da base são a largura $w$ e o comprimento $L$. A altura da caixa será igual a $h$.

Sabemos que $L=3w$. Devemos ainda encontrar a altura da caixa em função da largura, de forma que façamos o cálculo com apenas uma variável.

Lembre-se que o volume de uma caixa com formato de paralelepípedo é dado pela fórmula: $V=L\cdot w\cdot h$. Assim, teremos:

$2727=3w\cdot w\cdot h\\\\\\ 3w^2h=2727$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $3w^2,~w\neq0$

$h=\dfrac{2727}{3w^2}\\\\\\ h =\dfrac{909}{w^2}$

Para calcularmos o custo total de material a ser utilizado na confecção da caixa, precisamos encontrar a fórmula da área total desta em função da largura.

Lembre-se que a área total de um paralelepípedo é dada pela fórmula: $A=2\cdot(L\cdot w+L\cdot h + w\cdot h)$. Assim, teremos:

$A(w)=2\cdot\left(3w\cdot w + 3w\cdot\dfrac{909}{w^2}+w\cdot\dfrac{909}{w^2}\right)\\\\\\ A(w)=2\cdot\left(3w^2 + \dfrac{3636}{w}\right)\\\\\\ A(w)=6w^2+\dfrac{7272}{w}$

Para que o consumo seja mínimo, devemos encontrar os pontos críticos desta função. Para isso, calculamos sua derivada:

$(A(w))'=\left(6w^2+\dfrac{7272}{w}\right)'$

Para calcular a derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A potência $\dfrac{1}{x}=x^{-1},~x\neq0$.

Aplique a regra da soma e reescreva a potência

$A'(w)=(6w^2)'+(7272w^{-1})'$

Aplique a regra da constante e da potência

$A'(w)=6\cdot(w^2)'+7272\cdot(w^{-1})'\\\\\\ A'(w)=6\cdot 2\cdot w^{2-1}+7272\cdot (-1)\cdot w^{-1-1}\\\\\\ A'(w)=12w - 7272w^{-2}$

Os pontos críticos de uma função são aqueles pertencentes ao domínio da função de modo que a inclinação da reta tangente à curva neste ponto é nula, isto é, a derivada da função neste ponto é igual a zero. Assim, temos:

$A'(w)=0\\\\\\ 12w - 7272w^{-2}=0$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $w^2$

$12w^3-7272=0$

Some $7272$ em ambos os lados da igualdade

$12w^3=7272$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $12$

$w^3=606$

Calcule a raiz cúbica em ambos os lados da igualdade

$w=\sqrt[3]{606}$

Facilmente podemos demonstrar que este ponto crítico é também um ponto de mínimo de $A(w)$.

Então, as dimensões da caixa que permitirão consumo mínimo de material são comprimento igual a $3\sqrt[3]{606}~cm$, largura igual a $\sqrt[3]{606}~cm$ e altura igual a $\dfrac{909}{606^{\frac{2}{3}}}~cm$.