Question

Um fabricante de caixa deve produzir uma caixa fechada com volume de 288 cm, onde a base é um retângulo com um comprimento 3 vezes maior do que a largura. Ache as dimensões da caixa com o mínimo de materiais.

Answer 1

Dados:
    caixa = V = 288 cm³
    Base => Retangular => Comprimento = 3.Largura
                                                             C = 3.L       Equação 1)

- Área da Base retangular:
     Ab = a.b ou C.L                                               Equação 2) 
 
- Cilindro de Base retangular:
       V = Ab.H                                                        Equação 3) 

 Substituindo a Equação 1)na 2) com a Eq.3), temos:
                            V = Ab.H
                            V = (C.L).H
                            V = [(3.L.L).H
                            V = 3.L².H
                         288 = 3.L².H
                         L².H = 288
                                     3
                         L².H = 96
                             H = 96
                                    L² 
Dica importante: Por ter dito que a base é retângulo, define como paralelepípedo retângulo. Pois, assim, muda a Área lateral
 
- Área total da caixa:
       At = Al + 2.Ab
       At =1.(retângulo) + 2.(retângulo)   
       At = 2.L.H + 2.C.H + 2.C.L
      At = 2.L.(96/L²).+2.3.L .(96/L²)+ 2.3.L.L 
      At =  2.(96/L) + 6.96/L + 6.L² 
      At = 192 + 576 + 6.L³      
                          L       
      At = 768 + 6.L³ 
                    L                     
- Derivar com Regra do Quociente e com Regra da Cadeia:
      At' = (768 + 6.L³)'. (L³)'.L - (L)'.(768 + 6.L³)
                              (L)²
     At' =  0 + 3.6.L².3.L².L - 768 - 6.L³
                              L²   
    At' = 54.L^5 - 768 - 6.L³ 
                         L²         
  
onde valores minímos At(L) = 0,temos:
               At(L) =  54.L^5 - 768 - 6.L³
                                        L²
                 0 = 54.L^5 - 768 - 6.L³
                 768 + 6L³ = 54.L^5
                        L^5 = 768 + 6.L³   :6   
                                        54         :6
                        L^5 = 128 + L³
                                     9
 
    onde, na fatoração, temos:
                         9.L^5 = 128 + L³
                         9.L^5 - L³ = 128
                         L³.(9.L² - 1) = 128 

tal que: 
     9.L² - 1 => não existe, logo, deverá igualar com outro binômio.  
                                     L³ = 128
                                     L = ∛128
                                     L = 5,04 cm
 Descobrir 
   C = 3.L                        H = 96/L²
   C = 3.5,04                   H = 96/(5,04)²
   C = 15,12 cm              H ≈ 3,8 cm

As dimensões da caixa são C X L X H = 15,12 X 5,04 X 3,8 cm