Question

Um fabricante de bonés opera a um custo fixo de R$1200,00 por mês (correspondente a aluguel, seguro e prestações de máquinas). O custo variável por boné é de R$2,00. Atualmente são comercializadas 1000 unidades mensalmente, a um preço unitário de R$5,00. Devido à concorrência no mercado, será necessário haver uma redução de 30% no preço unitário de venda. Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser o aumento na quantidade vendida?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dudacastelo, que a resolução é simples. Só um pouquinho trabalhosa dadas as informações pedidas pela questão.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja qye a função custo será composta por custos variáveis + custos fixos. Assim, como o custo para produzir uma unidade "x" é de R$ 2,00 e o custo fixo é de R$ 1.200,00, então a nossa função custo será esta:

C(x) = 2x + 1.200      . (I)

ii) Como cada unidade "x" do boné é vendida a R$ 5,00, então a função receita desse fabricante será dada por:

R(x) = 5x      . (II)

iii) A função lucro será dada pela função receita menos a função custo. Assim, a função custo, inicialmente, será dada por:

L(x) = R(x) - C(x) ----- substituindo-se R(x) e C(x) por suas representações, teremos (subtrairemos as representações que estão nos expressões (II)-(I) ):

L(x) = 5x - (2x + 1.200) ---- retirando-se os parênteses, teremos:
L(x) = 5x - 2x - 1.200
L(x) = 3x - 1.200       . (III)

iv) Mas, por causa da concorrência no mercado, a empresa terá que reduzir 30% (ou 0,30) em cima do preço unitário de venda. Então se atualmente o preço de venda é de R$ 5,00 por cada unidade "x" vendida, então vamos fazer essa redução:

5 - 0,30*5 = 5 - 1,50 = 3,50 <--- Este será o preço por cada unidade "x" vendida após a redução do preço unitário de venda em 30% (ou 0,30).

v) Assim, agora a função receita ficará sendo esta, após a redução no preço unitário de venda:

R(x) = 3,5x      . (IV)

vi) Assim, a nova função lucro deverá ser esta (faremos a subtração das expressões IV - I)::

L(x) = 3,5x - (2x + 1.200) --- retirando-se os parênteses, teremos:
L(x) = 3,5x - 2x - 1.200
L(x) = 1,5x - 1.200       . (V)

vii) Agora veja: como queremos que o lucro encontrado na expressão (V) continue a ser o mesmo lucro encontrado na expressão (III), então vamos compará-los:

vii.a) Pela expressão (III), tínhamos isto:

3x - 1.200 = 0
3x = 1.200
x = 1.200/3
x = 400 <--- Esta seria a quantidade vendida que daria o lucro visto na expressão (III).

vii.b) Pela expressão (V), temos isto:

1,5x - 1.200 = 0
1,5x = 1.200
x = 1.200/1,5
x = 800 <--- Esta seria a quantidade vendida que daria o lucro visto na expressão (V).

viii) Finalmente, vamos saber quanto deverá ser o aumento na quantidade vendida para que o lucro continue a ser o mesmo anterior.
Então, por uma regra de três simples e direta poderemos encontrar qual deverá ser esse aumento, raciocinando-se assim: se com 400 unidades vendidas obtínhamos um lucro de 100%, então a diferença de 400 (800-400 = 400) corresponderá a x%, ou:

400 unidades vendidas ------ correspondia a 100%
400 de diferença --------------- corresponderá a x%

Como a regra de três é simples e direta, então as razões comportar-se-ão naturalmente da seguinte forma:

400/400 = 100/x --- multiplicando-se em cruz, teremos;
400*x = 400*100
400x = 40.000
x = 40.00/400
x = 100 ou 100% de aumento <--- Esta é a resposta. Ou seja, para manter o lucro mensal, o aumento na quantidade vendida deverá ser de 100% após a redução no preço de 30% em cada unidade "x" vendida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.