Question

Um exercício de Integral em anexo abaixo:

Answer 1

Boa noite AntoniLad!

Acredito que a integral esta aplicada em um calculo de área.

Seja a integral.

$\int\limits^{ \sqrt{3}}_{ \sqrt{2} }( x^{5} -4 x^{3}+2x)dx$

$\int\limits^{ \sqrt{3}}_{ \sqrt{2} }( \frac{x^{5+1}}{5+1} \frac{-4 x^{3+1}}{3+1} + \frac{2 x^{1+1} }{1+1} )dx$

$\int\limits^{ \sqrt{3}}_{ \sqrt{2} }( \frac{x^{6}}{6} - \frac{4 x^{4}}{4} + \frac{2 x^{2} }{2} )dx$

Nesse momento vamos simplificar as frações quando possível.

$\int\limits^{ \sqrt{3}}_{ \sqrt{2} }( \frac{x^{6}}{6} - x ^{4} + x^{2} )dx$

Vou calcular os intervalos separados para ficar mais facil o entendimento.
Substituindo os intervalos.

$Limite~~inferior= \sqrt{2}$

$\int\limits^{ \sqrt{3}}_{ \sqrt{2} }( \frac{ \sqrt{2}) ^{6}}{6} - ( \sqrt{2} ) ^{4} + ( \sqrt{2)} ^{2} )$

$( \frac{2^{ \frac{6}{2} } }{6} - ( 2)^{ \frac{4}{2} } + ( 2) ^{ \frac{2}{2} } )$

$( \frac{2^{3 } }{6} - ( 2)^{2 } + ( 2) }\ )$

$( \frac{8 }{6} - 4 + ( 2) }\ )$

Fazendo o MMC

$\sqrt{2}= -\frac{4}{6}=- \frac{2}{3}$

Calculo com o limite superior.

$Limite~~superior~~\sqrt{3}$

$( \frac{( \sqrt{3}) ^{6}}{6} - ( \sqrt{3} )^{4} + ( \sqrt{3}) ^{2}$

$( \frac{( 3) ^{ \frac{6}{2} }}{6} - (3 )^{ \frac{4}{2} } + ( 3) ^{ \frac{2}{2} }$

$( \frac{( 3) ^{ 3 }}{6} - (3 )^{2 } + ( 3) ^{ 1 }$

$( \frac{( 27) }{6} - (9) + ( 3) )$

$( \sqrt{3}= -\frac{ 9 }{6}=- \frac{3}{2} )$

Agora que os limites foram calculados separadamente.

$I=integral$

$I=Calculo~~do~~ limite~~ superior- calculo ~~do~~ limite ~~inferior$

$I=- \frac{3}{2} -( \frac{-2}{3} )$

$I=- \frac{3}{2} +( \frac{2}{3} )$

Fazendo o MMC(2,3)=6

$I= \frac{-9+4}{6} )$

$I=\frac{-5}{6} )$

$\boxed{Resposta: \int\limits^{ \sqrt{3}}_{ \sqrt{2} }( x^{5} -4 x^{3}+2x)dx=- \frac{5}{6} }$

Boa noite!
Bons estudos!

Answer 2

$\int\limits^ {\sqrt{3}}_{\sqrt{2}} {(x^{5}-4x^{3}+2x)} \, dx = \\ \\ \int\limits^ {\sqrt{3}}_{\sqrt{2}} {x^{5}} \, dx - \int\limits^ {\sqrt{3}}_{\sqrt{2}} {4x^{3}} \, dx +\int\limits^ {\sqrt{3}}_{\sqrt{2}} {2x} \, dx = \\ \\ \frac{x^{6}}{6} - \frac{4x^{4}}{4} + \frac{2x^{2}}{2} = \\ \\ \frac{x^{6}}{6} - x^{4} + x^{2} \\ \\ f(b) = \frac{(\sqrt{3})^{6}}{6} - (\sqrt{3})^{4} + (\sqrt{3})^{2} = \\ \\ f(b) = 4,5 -9+3 \\ \\ f(b)= - \frac{3}{2}$

$f(a) = \frac{(\sqrt{2})^{6}}{6} - (\sqrt{2})^{4} + (\sqrt{2})^{2} = \\ \\ f(a) = \frac{4}{3} - 4 + 2= \frac{4-12+6}{3} = - \frac{2}{3} \\ \\ f(a)-f(b)= - \frac{3}{2} - (- \frac{2}{3}) = \\ \\ = \frac{-9+4}{6} = \\ \\ - \frac{5}{6}$