Question

um exemplo de função composta e f(t) = sen (t/2 +t) que e a composição da função g(t) = sen t com a função h(t) =t/2 +t considerando essa função composta determine a sua derivada e determine f(0)

Answer 1

Para derivar funções compostas usamos a regra da cadeia:
tendo que $f(x)=(g\circ h)(x)$
a derivada de f é:
$\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{dg}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}$
então:
$\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{d}{dh}\sin(h)\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{2}+t\right)=\cos(h)\cdot\left(\frac{1}{2}+1\right)=\left(\frac{3\cos(h)}{2}\right)$
lembrando que $h=\frac{t}{2}+t$
então:
$\displaystyle \boxed{\frac{df}{dt}=\frac{3\cos\left(\frac{t}{2}+t\right)}{2}}$
$\displaystyle f(0)=(h\circ g)(0)=\sin\left(\frac{0}{2}+0\right)=\sin(0)=0$

e 

$\displaystyle f'(0)=\left.\frac{df}{dt}\right|_{t=0}=\frac{3\cos\left(\frac{0}{2}+0\right)}{2}=\frac{3\cos(0)}{2}=\frac{3\cdot1}{2}=\frac{3}{2}$

prova de que f'(t) = 3/2. cos(t/2+t):

$\displaystyle \int\,\frac{3\cos\left(\frac{t}{2}+t\right)}{2}\,dt=\frac{3}{2}\int\,\cos\left(\frac{t}{2}+t\right)\,dt\longrightarrow h=\frac{t}{2}+t\implies\\\\\frac{dh}{dt}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\implies dt=\frac{dh}{\frac{3}{2}}\implies dt=\frac{2dh}{3}\longrightarrow\\\\\frac{3}{2}\int\,\cos(h)\,\frac{2dh}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\int\cos(h)\,dh=1\sin(h)+C=\boxed{\sin\left(\frac{t}{2}+t\right)+C}$

O que vai de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral de uma função derivada é a sua primitiva.