Question

Um exame de múltipla escolha consiste em dez questões, cada uma com cinco possibilidades de escolha. A aprovação exige, no mínimo, 50% de acertos.
A) Qual é a probabilidade de aprovação se o candidato comparecer ao exame sem saber absolutamente nada, apelando apenas para o "chute"?

B) Qual a nota esperada desse aluno e a variância?

Answer 1

X é a variável aleatória números de questões corretas , desde que o aluno não saiba nada, ou seja, irá acertar no 'chute';

X= { 0 , se não acertar nenhuma;
     { 1 , se acertar 1;
     { 2 , se acertar 2;
     { 3 , se acertar 3;
     { 4 , se acertar4;
     { 5 , se acertar 5;
     { 6 , se acertar 6;
     { 7 , se acertar 7;
     { 8 , se acertar 8;
     { 9 , se acertar 9;
     { 10 , se acertar todas;

É uma distribuição Binomial(10 ,1/2)

P(X=x)=C10,x * p^(n-0) * (1-p)^x    .........n=1,2,....,n

A)
p=1/5
n=10

P(X ≥ 5)= P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

P(X=5)=C10,5 * (1/5)¹⁰⁻⁵ * (1-1/5)⁵
P(X=6)=C10,6* (1/5)¹⁰⁻⁶ * (1-1/5)⁶
P(X=7)=C10,7 * (1/5)¹⁰⁻⁷ * (1-1/5)⁷
P(X=8)=C10,8 * (1/5)¹⁰⁻⁸ * (1-1/5)⁸
P(X=9)=C10,9 * (1/5)¹⁰⁻⁹ * (1-1/5)⁹
P(X=10)=C10,10 * (1/5)¹⁰⁻¹⁰ * (1-1/5)¹⁰


B)
            ₁₀
E(X) = ∑    i  * P(X=i)
           ⁿ = ⁵
                 ₁₀ 
Var(X)  = ∑    Var[Xi] 
              ⁿ = ⁵

****Var[Xi]= E[Xi²] - E²[Xi]
           
****E(X=i) =    i   * P(X=i)

****E[Xi²] = i²  * P(X=i)