Um estudo sobre as operações de uma fábrica revelou que, a um preço p, não superior a R$ 200,00, a mesma consegue vender x peças semanais, onde x = 800 − 4p. Nesse estudo, consta que o custo de produção de x peças é dado através do modelo linear 200 + 10x reais.
Sendo assim, quantas peças a fábrica deve vender para que o seu lucro seja máximo?
Soluções para a tarefa
A fábrica deve vender 420 peças para que o seu lucro seja máximo.
Primeiramente, vamos encontrar a expressão que dá a receita obtida pela fábrica em função do número p de unidades produzidas e vendidas. Se, vide enunciado, a fábrica consegue vender x peças semanais segundo a expressão x = 800 - 4p, logo tem como receita:
R(p) = p * (800 - 4p)
Observe que a receita está em função do número de unidades vendidas (obviamente) e do preço praticado.
Simplificando a expressão:
R(p) = -4p² + 800p
Encontraremos também a função custo em relação ao preço:
C(p) = 200 + 10*(800 - 4p)
C(p) = 200 + 8000 - 40p
C(p) = 8200 - 40p
Sabe-se, por outro lado, que o lucro é a diferença entre o que se ganha e o que se gasta. Assim:
L(p) = R(p) - C(p)
L(p) = -4p² + 800p - (8200 - 40p)
L(p) = -4p² + 840p - 8200
A fim de encontrar o lucro máximo, queremos o p que produz o valor máximo nessa função. Em outras palavras, a coordenada horizontal do vértice dessa parábola. Derivando e igualando a zero:
L'(p) = 0
- 8p + 840 = 0
p = 105
Substituindo na expressão x = 800 − 4p,
x = 800 − 4(105)
x = 800 - 420
x = 420
Enfim, a fábrica deve vender 420 peças para que o seu lucro seja máximo.
Até mais!