Question

Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia Universal Instruments projeta que, após a nova linha de computadores pessoais Galaxy serem introduzida no mercado, as vendas crescerão à taxa de N’(t) = 2000 – 1500.e-0,005t com (0 ≤ t ≤ 60) unidades por mês.
a) Encontre uma expressão que forneça o número total de computadores que serão vendidos t meses após se tornarem disponíveis no mercado.
b) Quantos computadores a Universal venderá no final de cinco anos em que eles estiverem no mercado?

Answer 1

Temos a taxa de crescimento definida para o intervalo de zero até 60 meses;

Com isso, ao integrar essa função $N'(t)$ teremos a função primitiva, que descreve as vendas ao longo do tempo, meses;

Com isso:

a)

$N(t) = \int_0^{60} N'(t) dt$
$N(t) = \int_0^{60} (2000-1500* e^{-0,005t})dt$


A integral do termo exponencial pode ser conferida em uma tabela de recorrência, mas ela é, basicamente, a própria exponencial dividida pela derivada de seu expoente;

$N(t) = 2000*t|_0^{60}-1500*\frac{e^{-0,005*t}}{-0,005}|_0^{60}$

Reslvendo o intervalo, temos:

$N(t) = 120000+300000*e^{-0,005*t}$


b)

Para fazer a letra B, o período de cinco anos é contado em meses, uma vez que temos a função com o tempo em meses. Temos que 5 anos equivalem a 60 meses, com isso as vendas para cinco anos ficam:

$N(60) = 120000+300000*e^{-0,005*60}$

$N(60) = 120000+300000*e^{-0,3}$

$N(60) = 120000+222245,5$

$N(60) = 342245,5 unidades$

Considerando que o produto é vendido somento inteiro. Então teremos a venda de 342 mil e 245 unidades, para um período de 5 anos.