Question

Um estudante está procurando uma matriz quadrada M, de ordem 2 × 2, tal que M.Mt seja igual à matriz identidade de ordem 2 × 2, sendo Mt a matriz transposta de M. Uma matriz que atende às condições do estudante é M igual a

Answer 1

Sendo M a matriz:
$M= \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Sua transposta Mt é obtida trocando as linhas por colunas:
$M= \left[\begin{array}{ccc}a&c\\b&d\end{array}\right]$

Multiplicando as duas matrizes, temos que:
$\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}a&c\\b&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a^2+b^2&ac+bd\\ac+bd&c^2+d^2\end{array}\right]$

Precisamos que esta matriz seja igual a identidade:
$\left[\begin{array}{ccc}a^2+b^2&ac+bd\\ac+bd&c^2+d^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Logo:
$a^2+b^2 = 1 \\ ac+bd = 0 \\ ac+bd=0 \\ c^2+d^2 = 1$

Lembrando da identidade trigonométrica sen²(x)+cos²(x) = 1, temos que a segunda matriz atende aos requisitos. Vamos verificar termo a termo:
$a^2+b^2 = 1 \\ cos^2(x) + (-sen(x))^2 = cos^2(x) + sen^2(x) = 1 \hspace 5 \checkmark \\ \\ ac+bd=0 \\ cos(x)*sen(x)+(-sen(x))*cos(x) = 0 \\ cos(x)sen(x) - cos(x)sen(x) = 0 \hspace 5 \checkmark \\ c^2+d^2 = 1 \\ sen^2(x) + cos^2(x)= 1 \hspace 5 \checkmark$

Portanto a matriz M é igual a:
$\left[\begin{array}{ccc}cos(x)&-sen(x)\\sen(x)&cos(x)\end{array}\right]$