Question

Um estudante de física faz um experimento com o objetivo de determinar a carga de uma determinada esfera. A monta- gem do experimento inclui uma esfera A, de carga igual a 8 μC, apoiada em um suporte isolante, e a esfera B, de carga desconhecida, presa a um fio isolante que, por sua vez, está fixado em outro suporte. As esferas encontram-se alinhadas horizontalmente, tendo seus centros distantes em 30 cm. O fio que prende a esfera B forma um ângulo com a vertical.

Para a situação descrita, faça as seguintes considerações:
Massa da esfera B de 160 g.
Aceleração da gravidade local de 10 ⁄2.
=1
As dimensões das esferas podem ser desprezadas.
A constante eletrostática do meio igual a 9. 109 . 2⁄2.
Determine o módulo da carga da esfera B, em μC.
A 0,50.
B 4,0.
C 8,0.
D 10.

Answer 1

Dados:

$k_0\approx9\times10^9\ Nm^2C^{-2}\\ q_A=8\ \mu C=8\times10^{-6}\\ m_B=160\ g=0.16\ kg\\ d=30\ cm=0.3\ m\\ g\approx10\ m/s^2\\ \tan{\theta}=1$

É importante desenhar o diagrama de corpo livre deste exercício para compreender as forças que agem no eixo horizontal (x) que alinha as esferas A e B.

Vamos supor que o sistema está em equilíbrio.

Na esfera B, existe uma força peso de B que age na vertical:

$W_B=m_B g$

Ao traçarmos uma linha ao longo do fio isolante que prende B, percebemos que há uma componente da força peso de B ao longo do fio, que será dada por:

$\cos{\theta}=\dfrac{W_B}{W_{B_{fio}}}\ \therefore\ W_{B_{fio}}=\dfrac{W_B}{\cos{\theta}}$

Continuando a analisar a esfera B, é possível observar que existe uma tração no fio isolante, que será igual (em módulo) à componente da força peso de B ao longo do fio:

$T=W_{B_{fio}}\ \therefore\ T=\dfrac{m_Bg}{\cos{\theta}}$

Essa mesma tração forma um ângulo $(\frac{\pi}{2}-\theta)$ com a horizontal, e terá uma componente ao longo do eixo x:

$T_x=T\cos{(\frac{\pi}{2}-\theta)}=T(\cos{\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}+\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{\theta})\ \therefore\\\\ T_x=T\sin{\theta}=\dfrac{m_Bg}{\cos{\theta}}\sin{\theta}\ \therefore\ \boxed{|T_x|=m_Bg\tan{\theta}}$

Considerando que o sistema está em equilíbrio, a somatória das forças que agem ao longo do eixo x deve ser nula. Nesse eixo, temos a ação de duas forças: a componente da tração em x e a força elétrica entre A e B.

A força elétrica entre A e B será:

$F_{el}=k_0\dfrac{q_Aq_B}{d^2}\ \therefore\ \boxed{|F_{el}|=k_0\dfrac{|q_A||q_B|}{d^2}}$

Dessa forma, analisando o somatório das forças ao longo do eixo x, poderemos encontrar o valor do módulo da carga B:

$\sum{F_x}=0\ \therefore\ T_x-F_{el}=0\ \therefore\ |T_x|=|F_{el}|\ \therefore\\\\ m_Bg\tan{\theta}=k_0\dfrac{|q_A||q_B|}{d^2}\ \therefore\ \boxed{|q_B|=\dfrac{m_Bgd^2\tan{\theta}}{k_0|q_A|}}$

Substituindo as variáveis com os valores do exercício, teremos:

$|q_B|\approx\dfrac{0.16(10)(0.3)^2(1)}{9\times10^9(8\times10^{-6})}\approx0.000002\ C\ \therefore\ \boxed{|q_B|\approx2\ \mu C}$

Resposta: O módulo da carga da esfera B vale aproximadamente $2\ \mu C$.