Question

Um estudante da UFJF usou um site para obter rotas para ir de um ponto X até um ponto Y. O site
forneceu um mapa das ruas como na figura abaixo.
Após analisar o mapa ele percebeu que cada uma das ruas A, B, K são lados de um retângulo e as ruas J e H formam
outro lado desse mesmo retângulo. Enquanto cada uma das ruas B, F e G são lados de um paralelogramo e as ruas C e
D formam outro lado desse mesmo paralelogramo. Além disso, o aluno identificou que a rua E intercepta as ruas C e
D em 90
, e que na escala usada pelo mapa a rua G mede 8 e as ruas E e J medem 3 cada.
a) Determine o comprimento da rua C e da rua K.
b) Determine, justificando, o caminho mais curto (ou os caminhos mais curtos) para percorrer o trajeto do ponto X
até o ponto Y.

Answer 1

a) Chamaremos as ruas por suas respectivas letras para facilitar o cálculo. Assim, temos: G = 8 e J = E = 3.

Como B e G são lados paralelos do paralelogramo, temos que B = G = 8.

Pela figura, podemos perceber que B = J + H. Logo:

8 = 3 + H ⇒ H = 8 - 3 ⇒ H = 5.

Podemos calcular a medida D pelo Teorema de Pitágoras.

D² + E² = H²

D² + 3² = 5²

D² + 9 = 25

D² = 25 - 9

D² = 16 ⇒ D = √16 ⇒ D = 4

O triângulo formado pelos lados B, K e C+D é semelhante ao triângulo formado pelos lados D, E e H. Logo, fazemos a proporção:

B / D = K / E

8 / 4 = K / 3

2 = K / 3

K = 2 · 3

K = 6

Agora, basta aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelos lados B, K e C+D.

(C + D)² = B² + K²

(C + D)² = 8² + 6²

(C + D)² = 64 + 36

(C + D)² = 100

(C + D) = √100

(C + D) = 10

Como D vale 4, temos:

C + 4 = 10

C = 10 - 4

C = 6

b) Os caminhos B + F e C + D + G são os menores, pois ambos têm medida 18.

F² = G² + K²

F² = 8² + 6²

F² = 64 + 36

F² = 100 ⇒ F = √100 ⇒ F = 10

Assim: B + F = 8 + 10 = 18

E...

C + D + G = 6 + 4 + 8 = 18