Question

Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da
outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e um carro
rosa chegam a esse estacionamento. De quantas maneiras
diferentes esses carros podem ocupar duas vagas de forma
que haja pelo menos uma vaga livre entre eles?
A) 56
B) 70
C) 71
D) 72
E) 80

Answer 1

$\mathsf{P_{_n} \ = \ n! \ \Rrightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ sem \ repeti\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos}$

$\mathsf{P^{^j}_{_n} \ = \ \dfrac{n!}{j!} \ \Rrightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ com \ j \ repeti\c{c}\~oes}$

São $\mathsf{2}$ carros diferentes (rosa e preto) e $\mathsf{8}$ vagas vazias.

Forma prática ⇒

Para as permutações totais $\mathsf{P_{(t)}}$, vamos livremente permutar os elementos, lembrando que temos $\mathsf{8}$ elementos (vagas vazias) repetidos.

Ou seja:

$\mathsf{P_{(t)} \ = \ P_{_{10}}^{^8} \ \therefore \dfrac{10!}{8!} \ = \ 90 \ casos \ totais}$

Para as permutações inválidas ($\mathsf{P_{(i)}}$), vamos unir os dois carros e contá-los como um  único grupo. Dentro dele, podemos permutar os $\mathsf{2}$ carros (diferentes), ou seja, consideraremos $\mathsf{2!}$.

Além disso, temos $\mathsf{9}$ elementos (grupo + $\mathsf{8}$ vagas), sendo que as vagas são elementos repetidos.

Ou seja:

$\mathsf{P_{(i)} \ = \ \underbrace{\mathsf{2!}}_{carros} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{\mathsf{P_{_9}^{^8}}}_{elementos \ totais} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{P_{(i)} \ = \ 2 \ \cdot \ \dfrac{9!}{8!} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{P_{(i)} \ = \ 18 \ casos \ inv\'alidos}$

Então, descontando os casos inválidos, temos todos os casos válidos possíveis $\mathsf{P_{(v)}}$:

$\mathsf{P_{(t)} \ - \ P_{(i)} \ = \ P_{(v)} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{90 \ - \ 18 \ = \ P_{(v)} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{P_{(v)} \ = \ 72 \ casos \ v\'alidos!}}}$

Forma convencional ⇒

$\mathsf{\circ \ 1 \ vaga \ entre \ \hookrightarrow}$

Vamos unir os dois carros e a vaga em um único grupo. Dentro deste grupo, teremos a permutação entre os $\mathsf{2}$ carros nas pontas ($\mathsf{2!}$).

Conjuntamente, temos $\mathsf{8}$ elementos (grupo $\mathsf{+ \ 8 \ - \ 1 \ = 7}$ vagas).

Ou seja:

$\mathsf{P \ = \ \underbrace{\mathsf{2!}}_{carros \ nas \ pontas} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{\mathsf{P_{_8}^{^7}}}_{elementos \ totais} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{P \ = \ 2 \ \cdot \ \dfrac{8!}{7!} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{P \ = \ 16 \ casos}$

Analogamente:

$\mathsf{\circ \ 2 \ vagas \ entre \ \hookrightarrow}$

Grupo com $\mathsf{2}$ carros nas pontas e  $\mathsf{2}$ vagas entre.  $\mathsf{6}$ elementos (grupo  $\mathsf{+ \ 8 \ - \ 2 \ = \ 6}$ vagas).

$\mathsf{P \ = \ \underbrace{\mathsf{2!}}_{carros \ nas \ pontas} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{\mathsf{P_{_7}^{^6}}}_{elementos \ totais} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{P \ = \ 2 \ \cdot \ \dfrac{7!}{6!} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{P \ = \ 14 \ casos}$

E fazendo os casos análogos, temos:

$\mathsf{\rightarrow \ 3 \ carros \ entre: \ 2! \ \cdot \ \dfrac{6!}{5!} \ \therefore \ 12 \ casos;} \\ \\ \mathsf{\rightarrow \ 4 \ carros \ entre: \ 2! \ \cdot \ \dfrac{5!}{4!} \ \therefore \ 10 \ casos;} \\ \\ \mathsf{\rightarrow \ 5 \ carros \ entre: \ 2! \ \cdot \ \dfrac{4!}{3!} \ \therefore \ 8 \ casos;} \\ \\  \mathsf{\rightarrow \ 6 \ carros \ entre: \ 2! \ \cdot \ \dfrac{3!}{2!} \ \therefore \ 6 \ casos;} \\ \\ \mathsf{\rightarrow \ 7 \ carros \ entre: \ 2! \ \cdot \ 2! \ \therefore \ 4 \ casos;} \\ \\ \dots$

$\mathsf{\circ \ 8 \ vagas \ entre \ \hookrightarrow}$

Último caso possível. Só poderemos permutar os $\mathsf{2}$ carros nas pontas:

$\mathsf{P \ = \ 2! \ \therefore \ 2 \ casos}$

Somando tudo (pois são possibilidades distintas), percebemos até que é uma P.A.:

$\mathsf{P_{(v)} \ = \ 2 \ + \ 4 \ + \ \dots \ + \ 14 \ + \ 16 \ \therefore \ \boxed{\boxed{\mathsf{72 \ casos \ v\'alidos!}}}}$

Answer 2

Olá !

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

São 10 vagas , na 1º possibilidade temos :

O carro A na vaga 1 e o carro B em uma das vagas ( 3,4,5,6,7,8,9,10=8 Possibilidades) pois a 2 tem que ficar livre entre eles.

2º Possibilidade :

O carro A na vaga 2 , e o carro B em uma das vagas ( 4,5,6,7,8,9,10=7 Possibilidades)

3º Possibilidade :

O carro A na vaga 3 , e o carro B em uma das vagas ( 1,5,6,7,8,9,10=7 possibilidades) a 2 e a 4 tem que ficar livre entre eles.

Temos 7 possibilidades ate a vaga 9........

10º Possibilidade :

O carro A na vaga 10 , e o carro B em uma das vagas ( 1,2,3,4,5,6,7,8=8 Possibilidades) a 9 tem que ficar livre entre eles.

Logos temos 2 vezes 8 possibilidades e 8 vezes 7 possibilidades:

2*8 + 8*7 = 16+56 = 72

Portanto são 72 possibilidades...

Espero ter ajudado!