Question

um escada de 8m de comprimento está apoiada em uma parede vertical se a base da escada começa a escorregar horizontalmente à taxa constante a 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede Quando ele está a 4m do solo?

Answer 1

Olá!
  
    Note que conforme base da escada se afasta da parede, temos a formação de vários triângulos retângulos (pois a cada instante, a distância da base da escada até a parede aumenta). Temos que a altura h onde a escada estava encostada na parede é que vai variar e essa variação é que procuramos. Lembrando que taxa de variação é o mesmo que derivada!
  
    Como a escada tem 8m, a hipotenusa do triângulo formado (qualquer um deles) valerá 8. A base é uma incógnita, mas sabemos que é em função de tempo. Ou seja, a posição da base varia conforme o tempo passa. Em outras palavras podemos chamar a base de x(t).
 
   Vejamos um padrão para a função da altura:
  
    Temos que a altura é um dos catetos do triângulo retângulo e ela varia conforme a base varia. Então, por Pitágoras,

$h^2+[x(t)]^2 = 64 \Rightarrow h^2= 64-[x(t)]^2 \Rightarrow h=\sqrt{64-[x(t)]^2}$

Note que no enunciado temos a posição da escada. Ou seja, $x(t)=4$  . E temos também a velocidade, ou seja, $x'(t)=6$  . Basta agora encontrarmos a velocidade com que o topo da escada percorre a parede, isto é, a variação da altura, que é a derivada da função h. Como esta função é composta com a x(t), temos de usar a regra da cadeia. Segue que

$h'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{64-[x(t)]^2}}\cdot [-2x(t)]\cdot 0,6 = \dfrac{-1}{\sqrt{64-4^2}}\cdot 4\cdot0,6= \\ \\ \\ = \dfrac{-4}{\sqrt{48}}\cdot 0,6=\dfrac{-4}{4\sqrt{3}}\cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{-6}{10\sqrt{3}}=-\dfrac{6\sqrt{3}}{10\cdot 3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{5}$

Portanto, quando a base da escada está a 4m do solo, o topo da escada percorre a parede à velocidade de $-\dfrac{\sqrt{3}}{5}$  m/s.

Bons estudos!