Question

Um equipamento de R$ 5.000,00 foi financiado pelo Banco ABC em 18 prestações mensais pelo sistema price de amortização, a uma taxa de juros de 3% a.m.
A amortização correspondente à 13ª prestação é de, aproximadamente,

Answer 1

Vamos lá.

Como se trata do sistema price, vai significar que as 18 prestações mensais (PMT) vão ser todas iguais.
Dessa forma, vamos, primeiro encontrar qual é o coeficiente de financiamento (CF), cuja fórmula é esta:

CF = i / [1 - 1/(1+i)ⁿ]

Na fórmula acima, substituiremos "i" por "0,03" que se refere à taxa de juros do empréstimo, que é de 3% ao mês (ou 0,03) e substituiremos "n" por "18", que o prazo de financiamento. Assim, iremos ficar com:

CF = 0,03/[1 - 1/(1+0,03)¹⁸]
CF = 0,03/[1 - 1/(1,03)¹⁸] ----- veja que 1,03¹⁸ = 1,70243 (bem aproximado). Logo:

CF = 0,03/[1 - 1/1,70243] ---- note que 1/1,70243 = 0,587396 (bem aproximado). Assim:

CF = 0,03/[1 - 0,587396]
CF = 0,03/[0,412604] ----- esta divisão dá 0,0727089 (bem aproximado). logo:

CF = 0,0727089 <--- Este é o nosso coeficiente de financiamento.

Agora, de posse do valor do CF, vamos encontrar qual o valor de cada uma das 18 prestações mensais. Para isso, basta que multipliquemos o valor atual (VA), que é igual a R$ 5.000,00, pelo coeficiente de financiamento (CF), que "0,0727089". Ou seja, teremos que:

PMT = VA*CF ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

PMT = 5.000*0,0727089 ---- veja que este produto dá 363,54 (bem aproximado). Assim:

PMT = 363,54 <--- Este é o valor de cada uma das 18 prestações mensais.


Finalmente, agora vamos saber qual será o valor da amortização da 13ª parcela, que é o que está sendo pedido na questão.
 
Antes veja que, no valor da PMT (R$ 363,54) já estão embutidos os juros, ou seja, teremos que: PMT = Amortização + Juros.

Agora note mais isto, que é importante: o valor da amortização vai decrescendo até a última, pois: a primeira amortização será a menor, pois é quando os juros são maiores.
Cada amortização é dada por: PMT/(1+i)^(n-k), sendo: PMT = valor da prestação mensal; n = número de períodos do empréstimo; e k = 0; 1; 2; 3; 4; ........ etc, etc, etc, valores esses de "k" que se referem, respectivamente, à 1ª amortização, à 2ª amortização, à 3ª amortização, à 4ª amortização, à 5ª amortização, etc, etc, etc, respectivamente.
 
Assim, o valor de cada amortização no sistema price, no caso do empréstimo da sua questão, será dado da seguinte forma:

- 1ª amortização: 363,54/(1,03)¹⁸⁻⁰ = 363,54/(1,03)¹⁸ = 363,54/1,70243 = 213,54 <--- Este será o valor da 1ª amortização. O restante, para completar o valor da PMT, são os juros.

- 2ª amortização: 363,54/(1,03)¹⁸⁻¹ = 363,54/(1,03)¹⁷ = 363,54/1,65284 = 219,95 <--- Este será o valor da 2ª amortização. O restante, para completar o valor da PMT, são os juros.

- 3ª amortização: 363,54/(1,03)¹⁸⁻² = 363,54/(1,03)¹⁶ = 363,54/1,6047 = 226,54 <--- Este será o valor da 3ª amortização. O restante, para completar o valor da PMT, são os juros.

E assim vai.

Seguindo, pois,  essa lei de formação, então para encontrar o valor da 13ª amortização, deveremos ter que:

13ª amortização: 363,54/(1,03)¹⁸⁻¹² = 363,54/(1,03)⁶ = 363,54/1,19405 = 304,46 (bem aproximado) <--- Esta é a resposta. Este é o valor da 13ª amortização, ou seja, para completar o valor da PMT (363,54), teremos, na 13ª amortização: 304,46 + 59,08 = 363,54 (amortização de R$ "304,46" e juros de R$ "59,08", perfazendo o valor da PMT de R$ "363,54".

Então, como vimos, o valor da 13ª amortização é de, aproximadamente:

R$ 304,46 <--- Esta é, portanto, a resposta. Ou seja, este é o valor da 13ª amortização pedida. 


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.