um engenheiro resolve projetar uma estrada em linha reta onde tal estrada tangencia a margem de um rio o qual a função trajetória é f(x)= 2x²+3x+3. Sabendo que a reta é paralela à reta 2y= -3x-5, encontre a função que representa tal estrada
Soluções para a tarefa
Para que duas retas sejam paralelas, o produto dos seus coeficientes angulares tem que ser igual a -1:
2.y = -3.x -5
y = -3.x/2 -5/2
-3/2.h = -1
h = -1.( -2/3)
h = 2/3
Então teremos que a função da reta é:
y = 2/3.x +b
Como ela é tangente a parábola da função y = 2.x² +3.x +3, então:
{ y = 2/3.x +b
{ y = 2.x² +3.x +3
Substituindo o valor de y na segunda equação:
2/3.x +b = 2.x² +3.x +3
2.x² +3.x -2/3.x +3 -b = 0
2.x² +7/3.x +( 3 -b) = 0
Para que a equação da reta seja tangente, ela só poder passar por um ponto da parábola, e para isso acontecer Δ = 0
Δ = b² -4.a.c
( 7/3)² -4.2.( 3 -b) = 0
49 /9 -8.( 3 -b) = 0
49 /9 -24 +8.b = 0
49 -216 /9 +8.b = 0
-167 /9 +8.b = 0
8.b = 167 /9
b = 167 /72
Então a equação da estrada é: y = 2/3.x +167/72
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