Question

Um engenheiro fez o levantamento de uma região demarcando pontos fundamentais, A (1, -5, 9), B (-3, 4, 8) e C ( 7, 1,6), com o propósito de determinar as coordenadas dos vetores (), os módulos respectivos e o valor do cosseno do ângulo determinado pelos dois vetores, com o objetivo de estudar o desempenho de um determinado corpo que se desloca do ponto B ao A e depois do B ao C.

Colaborando com esse engenheiro, apresente:

a.) As coordenadas dos vetores indicados.

b.) O módulo de cada vetor indicado.

c.) O valor do cos β, sendo β a medida do ângulo determinado pelos dois vetores.

Answer 1

Olá!

Vamos, primeiramente, sumarizar as informações que temos.

Há 3 pontos A, B e C, de coordenadas:

$A=(1, -5, 9)$
$B=(-3,4,8)$
$C=(7,1,6)$

Desejamos encontrar dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ tais que:

$\vec u = BA$
$\vec v = BC$

Partamos.

Item A:

Para o vetor $\vec u$:

$\vec u = BA = A - B = \left\ \textless \ x_A - x_B, y_A - y_B, z_A - z_B \right\ \textgreater$
$\vec u = \left\ \textless \ 1 - (-3), (-5) - 4, 9 - 8 \right\ \textgreater \ = \left\ \textless \ 4, -9, 1 \right\ \textgreater$


Para o vetor $\vec v$:

$\vec v = BC = C - B = \left\ \textless \ x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B \right\ \textgreater$
$\vec v = \left\ \textless \ 7 - (-3), 1 - 4, 6 - 8 \right\ \textgreater \ = \left\ \textless \ 10, -3, -2 \right\ \textgreater$

Item B:

Temos que o módulo de um vetor é:

$|p| = \sqrt{x_p^2+y_p^2+z_p^2}$

Assim:

Para o vetor $\vec u$:
$|\vec u| = \sqrt{(4)^2 + (-9)^2 + (1)^2} = \sqrt{16 + 81 + 1} = \sqrt{98}$

Para o vetor $\vec v$:
$|\vec v| = \sqrt{(10)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 9 + 4} = \sqrt{113}$

Item C:

Utilizaremos de uma operação especial para vetores: o produto escalar.

Ela é definida de tal forma que, para vetores no $\mathbb{R}^3$:

$\vec p \cdot \vec q = x_p x_q + y_p y_q + z_p z_q$

Assim, para nossos vetores:

$\vec u \cdot \vec v = 4*10 + (-9)*(-3) +1*(-2) = 40 + 27 - 2 = 65$

Utilizamos essa operação pois é uma de suas propriedades que dado o ângulo $\beta$ entre dois vetores $\vec p$ e $\vec q$:

$cos \beta = \frac{\vec p \cdot \vec q}{|p||q|}$

Assim, para nossos vetores:

$cos \beta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u||\vec v|}$
$cos \beta = \frac{65}{\sqrt{113}\sqrt{98}} = \frac{65}{\sqrt{11074}}$

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Espero ter ajudado, cheers!