Question

Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento,
ligando a porta da casa ao portão da rua. A passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la,
dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras retangulares de 1 metro por 2 metros.
Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras
e o rejunte ficará aparente, embora com espessura desprezível. De quantas maneiras ele pode
revestir a passarela?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

1º.Caso: Nenhuma pedra de dimensão 1X2. Nesse caso, só há 1 maneira de revestir a passarela: pondo todas as pedras de dimensão1

2º.Caso: Uma pedra de dimensão 1X2. Nesse caso, como uma pedra de dimensão 1X2  corresponde a duas pedras de dimensão 1X1 , precisamos preencher nove espaços es- colhendo onde dispor a pedra de dimensão 1X2. O número de maneiras que isso pode ser feito é(9/1)=9

3º.caso: Duas pedras de dimensão1X2. Nesse caso, como duas pedras de dimensão 1X2 correspondem a quatro pedras de dimensão 1X1 , precisamos preencher oito espaços es- colhendo onde dispor as duas pedras de dimensão 1X2 . O número demaneiras que isso pode ser feito é: (8/2)=28

.4º.caso: Três pedras de dimensão 1X2. Nesse caso, como três pedras de dimensão1X2 correspondem a seis pedras de dimensão1X1, precisamos preencher sete espaços escolhendo onde dispor as três pedras de dimensão 1X2 . O número de maneiras que isso pode ser feito é(7/3)=35.

5º.caso: Quatro pedras de dimensão 1X2. Repetindo o mesmo argumento usado nos casos anteriores, vemos que o número de maneiras de construir a passarela nesse caso é: (6/4)=15

6º.caso: Cinco pedras de dimensão 1X2. Mais 1 maneira de construção.Diante disso, a passarela pode ser revetida pelo  1+9+28+35+15+1=89 maneiras.

Answer 2

Um engenheiro está projetando uma passarela de 10 metros de comprimento, temos então que para essa passarela existem 89 maneiras em que se é possível revestir a passarela.

Engenheiro e Passarela

Para conseguir calcular o total de maneiras em que o engenheiro pode construir a passarela, vamos visualizar essa passarela como sendo um retângulo subdividido em dez quadrados, ou seja dimensão 1x1, uma linha com dez quadrados.

Utilizando de análise combinatória temos a fórmula para combinação como sendo:

                                         $C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Onde,

• $n -$  número total de elementos
• $p -$ número de elementos de cada grupo

Podemos então separar em 6 casos:

• 1° caso: Sem pedras de dimensão 1x2, temos aqui apenas 1 maneira de revestir a passarela: pondo todas as pedras de dimensão 1x1.

• 2° caso: Com apenas uma pedra de dimensão 1x2, que corresponde a duas pedras de dimensão 1x1, precisamos então preencher nove espaços escolhendo onde dispor a pedra de dimensão 1x2, sendo então:

                           

                                            $\left[\begin{array}{ccc}9\\ 1\end{array}\right] = \frac{9!}{1!(9-1)!} = \frac{9!}{8!} = 9$

     Tendo então 9 maneiras nesse caso.

• 3° caso: duas pedras de dimensão 1x2, que são quatro pedrasd de dimensão 1x1, ou seja temos então oito espaços para serem preenchidos mais as duas pedras de dimensão 1x2:

                                             $\left[\begin{array}{ccc}8\\ 2\end{array}\right] = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!}\\\left[\begin{array}{ccc}8\\ 2\end{array}\right] =\frac{40320}{1440} = 28$

      Tendo então 28 maneiras nesse caso.

• 4° caso: três pedras de dimensão 1x2, que correspondem a seis pedras de dimensão 1x1 , são então sete espaços escolhendo onde dispor as três pedras de dimensão 1x2, ou seja:

                                            $\left[\begin{array}{ccc}7\\ 3\end{array}\right] = \frac{7!}{3!(7-3)!} = 35$

      Tendo então 35 maneiras nesse caso.

• 5° caso: quatro pedras de dimensão 1x2, seis pedras de dimensão 1x1, então são 6 espaçoes a se preencher com 4 pedras de dimensão 1x2:

   

                                         $\left[\begin{array}{ccc}6\\ 4\end{array}\right] = \frac{6!}{4!(6-4)!} = 15$

      Tendo então 15 maneiras nesse caso.

• 6° caso: 5 pedras de dimensão 1x2, aqui temos novamente apenas 1 maneira.

Somando então todas as maneiras possíveis temos: 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89, sendo assim existem 89 maneiras em que o engenheiro pode revestir a passarela.

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