Question

um engenheiro está projetando uma praça em formato de um trapézio escaleno, cujas bases
medem 30 m e 9 m e seus lados transversais 10 m e 17 m. Essa praça foi projetada para abrigar 3
pessoas por m2 ao redor de um palco "360°" de formato quadrado de lado 4 m. Quantas pessoas
poderão estar, no máximo, na plateia dessa praça conforme esse projeto?​

Answer 1

Para esta questão é essencial que se faça o desenho de acordo co o texto.

Sendo assim, considere o desenho anexado e tome tempo para entender sua construção.

Perceba a praça (verde) em forma de trapézio escaleno (todos lados de medida diferente), o palco quadrado (vermelho) e as medidas dispostas em azul.

Note também que foram traçados dois segmentos "altura" de forma a separar a figura em um retângulo e dois triângulos retângulo. Essa separação foi feita para que possamos calcular a altura do trapézio o que permitirá calcularmos sua área.

Aplicando Pitágoras nos dois triângulos, teremos:

$\left\{\begin{matrix}17^2&=&h^2+(30-9-x)^2 \\\\10^2&=&h^2+x^2 \end{matrix}\right.$

Isolando h² nas duas equações e simplificando:

$\left\{\begin{matrix}h^2&=&(21-x)^2-289\\\\h^2&=&x^2-100\end{matrix}\right.\\\\\\\\\left\{\begin{matrix}h^2&=&x^2-42x+152\\\\h^2&=&x^2-100\end{matrix}\right.$

Igualando as duas expressões de h²:

$x^2-42x+152~=~x^2-100\\\\\\-42x~=~-100-152\\\\\\x~=~\frac{-252}{-42}\\\\\\\boxed{x~=~6~metros}$

Com o valor de "x", podemos agora determinar a altura (h) por qualquer uma das duas equações anteriormente achadas:

$h^2~=~100-x^2\\\\\\h^2~=~100-6^2\\\\\\h^2~=~64\\\\\\h~=~\sqrt{64}\\\\\\\boxed{h~=~8~metros}$

Podemos prosseguir agora para o calculo da área da praça (área de trapézio):

$Area~da~Praca~=~\dfrac{(Base_{maior}+Base_{menor})~.~Altura}{2}\\\\\\Area~da~Praca~=~\dfrac{(30+9)~.~8}{2}\\\\\\Area~da~Praca~=~(39)~.~4\\\\\\\boxed{Area~da~Praca~=~156m^2}$

A área da praça disponibilizada para o publico será toda área não ocupada pelo palco (quadrado), logo:

$Area~ao~Publico~=~Area~da~Praca~-~Area~do~Palco\\\\\\Area~ao~Publico~=~156~-~(4~.~4)\\\\\\Area~ao~Publico~=~156~-~16\\\\\\\boxed{Area~ao~Publico~=~140m^2}$

Por fim, como pode haver 3 pessoas por m², a ocupação máxima dessa praça será de:

$Ocupacao~Maxima~=~Area~ao~Publico~\times~Pessoas~por~m^2\\\\\\Ocupacao~Maxima~=~140~.~3\\\\\\\boxed{Ocupacao~Maxima~=~420~pessoas}$

Resposta: 420 pessoas.