Question

Um engenheiro está desenvolvendo um projeto para a construção de um canal de transporte de água. Decidiu, então, construir uma canaleta com seção retangular. Ao fazer alguns cálculos, concluiu que a seção retangular precisaria ter uma área de 2 m2 para obter a vazão desejada. O engenheiro sabe que o atrito da água nas paredes do canal será menor naquele também de menor área de superfície interna. Essa área é igual ao comprimento do canal multiplicado pelo perímetro da seção. Portanto, o canal de menor área de superfície interna é aquele cuja seção tem o menor perímetro. Encontre as medidas da seção do canal ideal. Redija uma justificativa algébrica que possa ser feita por estudantes do Ensino Médio.FE-EtapaII-Atividade12

Answer 1

Sabe-se que a área (2 m2) da seção retangular se dá pelo produto da base pela altura, ou seja, x.y=2 (daqui extrai-se a relação y=2/x); Sabe-se também que o perímetro se dá pela soma dos lados do retângulo, ou seja, 2x+2y (daqui extrai-se a função do perímetro: f(x) = 2x + 2.2/x). O menor perímetro possível vem da ordenada mínima da função (note que a mesma é uma função de grau 2), que é -Δ/4a. Sendo a=(2x^2)/x, b=4/x e c=0, Δ=16/x^2.  Pela relação de ordenada mínima, -Δ/4a = -2/x^3. Já que esse é o valor do perímetro, joga-se na função fazendo a seguinte relação:                         -2/x^3=(2x^2+4)/x;   -2x=2x^5 + 4x^3;    -2=2x^4+4x^2;                                     -1=x^4+2x^2;    x^2(2+x^2)=-1   ------->  x1=1; x2=-1 e as outras duas raízes não são reais pois vai cair numa raiz quadrada negativa. Como não existe valor de comprimento negativo, x=1. Aí é só jogar na primeira relação (x.y=2) que se têm as dimensões da seção do canal (x=1; y=2)