Question

Um engenheiro deseja encontrar a área de uma região limitada pela curva y = (x^2+1) / (3x-x^2 ), sendo esta limitada de 1 até 2. Qual o valor área?

Answer 1

A função assume valores positivos entre x = 1 e x = 2, logo a área da região limitada pela curva e pelo eixo x é dada por

$A=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{x^{2}+1}{3x-x^{2}}dx$

Calculamos essa integral por frações parciais

Como o grau do numerador é o mesmo que o do denominador, faremos a divisão dos polinômios, primeiramente.

Note que $x^{2}+1=(-1)\cdot(3x-x^{2})+3x+1$

Então

$\dfrac{x^{2}+1}{3x-x^{2}}=-1+\dfrac{3x+1}{3x-x^{2}}$

Usaremos frações parciais na função racional da direita

Temos que $3x-x^{2}=x\cdot(3-x)$. Então, estamos interessados em constantes A e B tais que

$\dfrac{3x+1}{3x-x^{2}}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{3-x}\\\\\\\dfrac{3x+1}{3x-x^{2}}=\dfrac{A(3-x)+Bx}{x(3-x)}\\\\\\\dfrac{3x+1}{3x-x^{2}}=\dfrac{3A-Ax+Bx}{3x-x^{2}}\\\\\\\dfrac{3x+1}{3x-x^{2}}=\dfrac{3A+(-A+B)x}{3x-x^{2}}$

Devemos fazer os polinômios do numerador serem iguais. Isso ocorrerá se os coeficientes correspondentes de cada termo forem iguais, i.e:

$3A=1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{A=\dfrac{1}{3}}}\\\\\\-A+B=3~~~\therefore~~~B=3+A=3+\dfrac{1}{3}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{B=\dfrac{10}{3}}}$
_________________________

Ou seja, encontramos que

$\dfrac{x^{2}+1}{3x-x^{2}}=-1+\dfrac{3x+1}{3x-x^{2}}=-1+\dfrac{(\frac{1}{3})}{x}+\dfrac{(\frac{10}{3})}{3-x}$

e integramos essas funções facilmente.

$A=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{x^{2}+1}{3x-x^{2}}dx\\\\\\A=\int_{1}^{2}\left(-1+\dfrac{(\frac{1}{3})}{x}+\dfrac{(\frac{10}{3})}{3-x}\right)\,dx\\\\\\A=\int_{1}^{2}-1\,dx+\int_{1}^{2}\dfrac{(\frac{1}{3})}{x}\,dx+\int_{1}^{2}\dfrac{(\frac{10}{3})}{3-x}\,dx\\\\\\A=\bigg[-x\bigg]_{1}^{2}+\dfrac{1}{3}\int_{1}^{2}\dfrac{d}{dx}ln(x)\,dx+\dfrac{10}{3}\int_{1}^{2}\dfrac{d}{dx}-ln(3-x)dx\\\\\\A=-2^{2}-(-1^{2})+\dfrac{1}{3}\bigg[ln(x)\bigg]_{1}^{2}-\dfrac{10}{3}\bigg[ln(3-x)\bigg]_{1}^{2}$

$A=-2-(-1)+\dfrac{1}{3}\bigg[ln(x)\bigg]_{1}^{2}-\dfrac{10}{3}\bigg[ln(3-x)\bigg]_{1}^{2}\\\\\\A=-1+\dfrac{1}{3}\bigg[ln(2)-ln(1)\bigg]-\dfrac{10}{3}\bigg[ln(3-2)-ln(3-1)\bigg]\\\\\\A=-1+\dfrac{1}{3}\bigg[ln(2)-0\bigg]-\dfrac{10}{3}\bigg[ln(1)-ln(2)\bigg]\\\\\\A=-1+\dfrac{ln(2)}{3}-\dfrac{10}{3}(-ln(2))\\\\\\A=\dfrac{-3+ln(2)+10ln(2)}{3}\\\\\\\boxed{\boxed{A=\dfrac{11ln(2)-3}{3}}}$