Question

Um engenheiro cartográfico fez o levantamento de uma região demarcando pontos fundamentais, sendo A(1,-2,5) B(2,3,1) e C(3,1,-1) pontos de R³.

A) diante desses dados é possível verificar a distância entre os pontos, conhecendo módulo de cada vetor que possui esses pontos como extremidades. Dessa maneira, apresente a distância entre os pontos AB e BC.

B) Utilizando duas cordas conseguimos ligar o ponto A com o B e o ponto B com C, obtendo os vetores u=AB e v=BC. Utilizando um dos produtos entre vetores verifique se u e v são ortogonais.

Answer 1

Olá

A)

A=(1,-2,5)
B=(2,3,1)
C=(3,1,-1) 

Criando os 2 vetores

AB = B - A = (2,3,1)  - (1,-2,5)
AB = (2-1, 3-(-2), 1 - 5)
AB = (1, 5, -4)

BC = C - B = (3,1,-1) - (2,3,1)
BC = (3-2, 1-3, -1-1)
BC = (1, -2, -2)


Calculando o módulo de AB

$|\vec{AB}|= \sqrt{(1)^2+(5)^2+(-4)^2} \\ \\ |\vec{AB}|= \sqrt{1+25+16} \\ \\ |\vec{AB}|=\boxed{ \sqrt{42} }$


Calculando o módulo de BC

$|\vec{BC}|= \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(-2)^2} \\ \\ |\vec{BC}|= \sqrt{1+4+4} \\ \\ |\vec{BC}|= \sqrt{9} =\boxed{3}$



B)

u = AB
v = BC

Se os vetores forem ortogonais, então o produto escalar entre eles tem que ser zero.

u.v = (1, 5, -4).(1, -2, -2)
u.v = ((1*1) + (5*(-2))+ (-4*(-2)))
u.v = (1 - 10 + 8)
u.v = (-9+8)
u.v = -1  ≠ 0

∴

Os vetores AB e BC não são ortogonais.