Question

um emprestino de R$ 15.000,00 foi liquidado apos um ano de sua contratação, pelo valor de R$ 32.250,00. sabendo-se que a taxa de inflação desse anos foi de 95%, determine a taxa real de juros mensais

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jailton, que a resolução parece simples. Inclusive já resolvemos uma questão parecida com esta.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que um empréstimo de R$ 15.000,00 foi liquidado um ano após a sua contratação pelo valor de R$ 32.250,00. Sabendo-se que a taxa de inflação desse ano foi de 95% (ou 0,95), pede-se para determinar a taxa real MENSAL de juros desse empréstimo.

ii) Como você já viu em uma outra questão sobre este mesmo assunto, temos que a taxa real é igual à taxa nominal dividida pela taxa de inflação, ou seja, temos que:

(1+r) = (1+n)/(1+i)            . (I)

Na fórmula acima, "r" é a taxa real, "n" é a taxa nominal e "i" é a taxa de inflação.

iii) Antes vamos encontrar qual foi a taxa nominal que foi utilizada no empréstimo de R$ 15.000,00 que, após um ano foi liquidado por R$ 32.250,00. Assim, utilizando-se a fórmula de montante em juros compostos, temos que:

M = C*(1+i)ⁿ

Na fórmula acima temos que "M" é o montante (no caso vai ser R$ 32.250,00); "C" é o capital emprestado (no caso vai ser R$ 15.000,00); "i" é a taxa nominal de juros ao ano (que ainda vamos encontrar); e finalmente "n" é o tempo (que no caso vai ser igual a "1", pois o empréstimo foi liquidado após 1 ano). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

32.250 = 15.000*(1+i)¹ ---- ou apenas:

32.250 = 15.000*(1+i) ---- vamos apenas inverter, ficando assim:

15.000*(1+i) = 32.250 ----- isolando "1+i" teremos:

1+i = 32.250/15.000 ---- note que esta divisão dá exatamente "2,15". Logo:

1+i = 2,15 ---- passando "1'' para o 2º membro, teremos:

i = 2,15 - 1 ---- como "2,15 - 1 = 1,15", teremos:

i = 1,15 ou 115% ao ano <--- Esta foi a taxa nominal anual do empréstimo.

iv) Agora vamos encontrar qual foi a taxa real ao ano desse empréstimo. Para isso, utilizaremos a fórmula que deixamos lá na expressão (I), que é esta:

(1+r) = (1+n)/(1+i)

Substituindo-se "n" por 115% (ou 1,15) e "i" por 95% (ou 0,95) teremos:

1+r = (1+1,15)/(1+0,95) ---- desenvolvendo, teremos:

1+r = (2,15)/(1,95) ---- note que esta divisão dá "1,1026" (bem aproximado). Logo:

1+r = 1,1026 ----- passando "1" para o 2º membro, teremos:

r = 1,1026 - 1 ---- como "1,1026 - 1 = 0,1026", teremos:

r = 0,1026 ou 10,26% ao ano <--- Esta é a taxa real anual do empréstimo concedido.

v) Finalmente, agora vamos encontrar a taxa efetiva real mensal que, como você já sabe (pois vimos isso na sua última questão), será dada por:

1+I = (1+i)ⁿ

Na fórmula cima "I" é a taxa relativa ao maior período (no caso vai ser a taxa real anual que será de 10,26% ou 0,1026); "i" será a taxa efetiva mensal (que é o que vamos encontrar); e finalmente "n" é o tempo (que, no caso vai ser igual a 12, pois um ano tem 12 meses). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

1+0,1026 = (1+i)¹² ----- desenvolvendo, teremos:

1,1026 = (1+i)¹² ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:

(1+i)¹² =1,1026 --- isolando "1+i", teremos:

1+i = ¹²√(10,26) ---- note que ¹²√(10,26) = 1,008" (bem aproximado). Logo:

1+i = 1,008 ---- passando "1" para o 2º membro, teremos:

i = 1,008 - 1 ---- como "1,008 - 1 = 0,008", teremos:

i = 0,008 ou 0,8% ao mês <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a taxa real efetiva ao mês (bem aproximada) do empréstimo concedido.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.