um empresário estima que, se fabricar x unidades, de um certo produto, terá um lucro de P(x)= 4000 (15-x) (x-2) reais. determine P'(x) e o valor para o qual P'(x)= 0
roberta2005rafa153:
mds
Investigue o comportamento de f(x) = 2x 2\u22125x+2 x2\u22124 quando x está próximo ... A função é contínua para estes valores de x? ... de um certo produto, terá um lucro P (x) = 4.000(15\u2212 x)(x\u2212 2) Reais. a. ... Determine o custo médio quando o nível de produção varia de x = 10 para x = 11 unidades. b.
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P(x) = 4000 (15 − x) • (x − 2)
Expandindo a expressão obtém-se:
P(x) = 4000 (−x² + 17x − 30)
P(x) = −4000x² + 68000x − 120000
Observe que:
- P(x) representa o lucro em função de x.
- P(x) é uma função do segundo grau e é representada por uma parábola de concavidade para baixo, pois o coeficiente de x² é negativo.
- O vértice da parábola representa o valor máximo da função, portanto é o par ordenado com o valor de x em que o lucro P(x) é máximo.
- A reta tangente à parábola em seu vértice possui coeficiente angular igual a zero (pois é horizontal).
- A derivada de uma função num determinado ponto é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto.
Vamos então derivar a função P(x) e igualá-la a zero para encontrar o valor de x (quantidade do produto a ser fabricada) para que se tenha lucro máximo.
P(x) = −4000x² + 68000x − 120000
P'(x) = −8000x + 68000
P'(x) = 0
−8000x + 68000 = 0
8000x = 68000
x = 8,5
Portanto:
P'(x) = −8000x + 68000
Para P'(x) = 0 ⟶ x = 8,5
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