Question

Um eixo maciço de raio r1 está sujeito a um torque t. Determine o raio r2 do nucleo interno do eixo que resista a 1/6 do torque aplicado. Resolva o problema de duas maneiras: a) usando a equação de torção e b) determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento

Answer 1

A relação entre os dois raios vale r1 = 0,742r2.

Anexei uma figura para facilitar o entendimento das variáveis.

Vamos aplicar os conceitos de Resistência dos Materiais para solucionarmos o problema.

a) O torque máximo será:

$\tau_{max} = \frac{T_c}{J} = \frac{T(r)}{x\pi r^4/2} = \frac{2T}{\pi }$

O torque e a torção relacionam-se por:

$\tau = \frac{r'}{r}\tau_{max}$

Substituindo o torque máximo encontrado:

$\tau = \frac{2Tr'}{\pi }$

E ainda:

$\tau' = \frac{T'c'}{J'}$

Novamente, substituindo:

$\frac{2Tr'}{\pir^4} = \frac{Tr'/4}{r'^4\pi/2}$

Logo, o raio interno será:

$r' = r/6^{1/6} = 0,742r$

b) O torque será:

$\tau = P\tau_{max}/c = 2PT/\pir^4$

A área terá derivação:

dA = 2πp dp

Teremos também:

$dT = p\tau dA = p(2T/\pi r^4) *(2\pi p) dp = 4Tp^3/r^4 dp$

Deste modo, a resultante das tensões de cisalhamento será:

$\int\limits^{t/6}_0 {} \, dT=4Tp^4/4r^4\\\\T/6=4Tp^4/4r^4\\\\1/6 = r'/r^4\\\\r' = 0,742r$

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