Question

Um ecologista observa que a população P(t) de um espécie ameaçada de extinção está aumentando à razão de dP/dt =0,51e^−0,03t animais por ano, onde t é o número de anos após começarem a ser feitos os registros:
a) se o ano em que começaram a ser feitos os registros a população era de 500 animais, qual será a população 10 anos mais tarde?

Answer 1

• Tema: Função exponencial (uso de EDO)

Para resolver a situação usamos os integrais indefinidos porque eles não nos fornecem o valor da constante de proporcionalidade, lembre-se que:

Como consequência, uma população cresce se mais animais nascem do que morrem e, caso contrário, a população diminui. Isso significa que se mais animais morrem e isso nos dá uma função de mortalidade, a constante de proporcionalidade é negativa e, se ocorrer o contrário, a constante de proporcionalidade é positiva.

A função exponencial é dada pela seguinte equação diferencial:

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{\dfrac{dP}{dt} =0.51e^{-0.03t}}$

Parece que morrem mais animais do que nascem, digo isso porque o tempo é negativo, ou seja, sua população cresce lentamente. Unimos cada diferencial com sua variável;

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{dP =0.51e^{-0.03t}dt}$

Aplicamos as integrais indefinidas, pois não sabemos o valor da constante de proporcionalidade:

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{\int 1dP =\int 0.51e^{-0.03t}dt}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{P= 0.51\int e^{-0.03t}dt}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{P(t) = 0.51\int e^{-0.03t}dt}$

Adicionamos nossa constante de proporcionalidade positiva, já que estamos falando sobre o crescimento populacional:

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{P(t) =\left( 0.51\right)\cdot\left(-\dfrac{1}{0.03}\right) e^{-0.03t} +k}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{P(t) =- 17 e^{-0.03t} +k}$

Mas para saber o número de animais que haverá em 10 anos devemos calcular a constante de proporcionalidade, para isso usaremos a seguinte condição inicial:

• $P(0) = 500$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{500=- 17 e^{-0.03(0)} +k}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{500=- 17 e^{0} +k}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{500=- 17 +k}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{500+17= k}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{517= k}$

Sabendo o valor da constante de proporcionalidade, tentaremos calcular o número de animais em 10 anos:

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{P(10) =- 17 e^{-0.03(10)} +517}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{P(10) =- 17 e^{-0.3} +517}$

$\large \qquad \qquad \qquad \bold{P(10) =-13+517}$

$\qquad \qquad \qquad\boxed{\large \bold{P(10) =504}}$

Concluímos que em 10 anos existem 504 animais.