Question

Um dos problemas que astronautas enfrentam no espaço é a imponderabilidade (peso aparente igual a zero). Um modo de contornar o problema seria fazer a estação espacial girar em torno do centro com uma taxa constante, criando assim uma
'gravidade artificial' na borda externa da estação espacial. Se o diâmetro da estação espacial for igual a 792,7 m, quantas revoluções por minuto seriam necessárias para simular uma aceleração gravitacional de 9,8 m/s??​

Answer 1

Temos um exercício envolvendo movimento circular uniforme (MCU).

Nesse movimento, as velocidades tangencial e angular são constantes, daí o movimento ser dado como uniforme, e possui uma aceleração, centrípeta, diferente de 0, esta responsável pela alteração da direção do vetor velocidade.

No caso descrito, a aceleração centrípeta fará as vezes da gravidade, ou seja, será responsável por "empurrar" o astronauta (e outros objetos) em direção ao chão da estação espacial.

$\boxed{\sf a_{cp}~=~g}$

Dito isso, vamos relembrar algumas das relações do MCU.

$\sf \boxed{\sf a_{cp}~=~\dfrac{v^2}{R}}~~~~~\boxed{\sf v~=~\omega\cdot R}\\\\\\Onde:~~~\left\{\begin{array}{ccl}\sf a_{cp}&:&\sf Aceleracao~centripeta\\\sf v&:&\sf Velocidade~tangencial\\\sf R&:&\sf Raio\\\sf \omega&:&\sf Velocidade~angular\end{array}\right$

Vamos substituir a velocidade tangencial na primeira equação pela expressão dessa em função da velocidade angular e do raio:

$\sf a_{cp}~=~\dfrac{(\omega\cdot R)^2}{R}\\\\\\a_{cp}~=~\dfrac{\omega^2\cdot R^2}{R}\\\\\\\boxed{\sf a_{cp}~=~\omega^2\cdot R}$

Substituindo os valores fornecidos no texto e lembrando que, nesse exemplo, acp=g:

$\sf g~=~\omega^2\cdot 792,7\\\\\\\dfrac{9,8}{792,7}~=~\omega^2\\\\\\\omega~=~\sqrt{\dfrac{98}{7927}}\\\\\\\boxed{\sf \omega~\approx~0,111~Hz~(ou~RPS)}$

Mas, como é solicitado o valor em RPM, temos:

$\sf \omega~=~0,111\cdot 60\\\\\\\boxed{\sf \omega~=~6,66~RPM}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$