Question

Um dos objetivos dos matemáticos é descobrir padrões. Para saber o que é padrão, o melhor é descobrir um. Veja esta sequência de números:
1, 4, 9, 16, 25, 36, e assim por diante...
Os números dessa sequência obedecem a um padrão, isto é, podem ser obtidos de uma mesma maneira, com uma mesma operação. Que maneira é essa?

Answer 1

(n+1)*(n+1) é a maneira desta sequência de números:
sendo n = 0 , resulta  (0+1) * (0+1) que é = 1 * 1 = 1
sendo n = 1 , resulta  (1+1) * (1+1) que é = 2 * 2 = 4
sendo n = 2 , resulta  (2+1) * (2+1) que é = 3 * 3 = 9
sendo n = 3 , resulta  (3+1) * (3+1) que é = 4 * 4 = 16
sendo n = 4 , resulta  (4+1) * (4+1) que é = 5 * 5 = 25
sendo n = 5 , resulta  (5+1) * (5+1) que é = 6 * 6 = 36
sendo n = 6 , resulta  (6+1) * (6+1) que é = 7 * 7 = 49
sendo n = 7 , resulta  (7+1) * (7+1) que é = 8 * 8 = 64
sendo n = 8 , resulta  (8+1) * (8+1) que é = 9 * 9 = 81
sendo n = 9 , resulta  (9+1) * (9+1) que é = 10 * 10 = 100
sendo n = 10 , resulta (10+1) * (10+1) que é = 11 * 11 = 121 
e assim por diante...

OU 
basta colocar apenas:

n * n = n ^2 

n = 1 , resulta que 1 * 1 = 1 ^2 = 1
n = 2 , resulta que 2 * 2 = 2 ^2 = 4
n = 3 , resulta que 3 * 3 = 3 ^2 = 9
n = 4 , resulta que 4 * 4 = 4 ^2 = 16
n = 5 , resulta que 5 * 5 = 5 ^2 = 25
n = 6 , resulta que 6 * 6 = 6 ^2 = 36
n = 7 , resulta que 7 * 7 = 7 ^2 = 49
n = 8 , resulta que 8 * 8 = 8 ^2 = 64
n = 9 , resulta que 9 * 9 = 9 ^2 = 81
n = 10, resulta que 10 * 10 = 10 ^2 = 100
e assim por diante.

Observações:
1ª) n ^2   lê-se « número n ao quadrado » e equivale a « número n multiplicado por si mesmo só uma vez ».
2ª) como sabemos, na Matemática, os números inteiros > que zero (0) têm uma série infinita de hipóteses de formular esta sequência de números. Acrescente-se, por isso, que em vez de: (n+1) * (n+1)   OU  em vez de: (n * n) = n ^2, podemos pôr (n-1) * (n-1) e a sequência será a mesma dos números previstos. O que é preciso é saber contar os números, saber o essencial de Aritmética, o que são números inteiros, o que são números reais (positivos e negativos) e depois saber qual/quais o(s) número(s) a colocar na fórmula sequencial para dar os resultados que se pretendem atingir.