Question

Um dos angulos agudos de um triangulo retangulo mede 40°. Calcule o angulo formado entre a altura e a mediana relativas à hipotenusa desse triangulo​

Answer 1

Resposta:

O ângulo formado entre a altura e a mediana relativas à hipotenusa mede 10º.

Explicação passo-a-passo:

Por gentileza, acompanhe a justificativa na figura do anexo.

O triângulo ABC é retângulo em A, o ângulo B mede 40º (conforme o enunciado) e o ângulo C mede 50º.

No  triângulo ABM, temos:

- AM é a mediana relativa à hipotenusa:

- MB é a metade do lado BC, pois M é o ponto médio deste lado;

- O ponto A pertence a uma semi-circunferência cujo diâmetro é o lado BC, e esta semi-circunferência é o Lugar Geométrico de todos os pontos que vêem o segmento BC segundo um ângulo de 90º (qualquer que seja a posição do ponto A sobre esta semi-circunferência, o ângulo BAC será sempre igual a 90º).

- Como o ponto M é o centro desta semi-circunferência, temos:

MA = MB

- Então, o triângulo ABM é isósceles, MA e MB são os seus lados e AB é a sua base;

- Num triângulo isósceles, os ângulos da base têm a mesma medida, então:

ABM = BAM = 40º

- Como consequência, o ângulo AMB mede

180º - 40º - 40º = 100º

pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º;

Resumindo, no triângulo ABM, temos:

ABM = 40º

BAM = 40º

AMB = 100º

Agora, vamos analisar o que acontece no triângulo AHM. Neste triângulo, deveremos obter a medida do ângulo HAM, que é o ângulo formado pela altura e pela mediana relativas à sua hipotenusa.

- Como o ângulo AMB mede 100º, o ângulo adjacente a ele, que é o ângulo AMH mede 80º, pois a soma destes 2 ângulos é igual a 180º:

AMH = 80º

- O ângulo AHM mede 90º, pois AH, como altura relativa à hipotenusa é perpendicular a BC, ao qual pertence o lado HM:

AHM = 90º

- Como a soma dos ângulos internos do triângulo AHM é igual a 180º, o ângulo HAM, que é o ângulo cuja medida devemos obter, mede:

HAM + AHM + AMH = 180º

HAM + 90º + 80º = 180º

HAM = 180º - 90º - 80º

HAM = 10º

R.: O ângulo formado entre a altura e a mediana relativas à hipotenusa mede 10º.

Answer 2

• de acordo com o enunciado:

angulo A:

A = A1 + x + A2

A1 = 90 -50 = 40°

A2 = C = 40°

valor de x;

x + 40 + 40 = 90

x + 80 = 90

x = 90 - 80 = 10°