Question

Um disco fino, circular de raio a encontra-se carregado com uma densidade
superficial de carga o. Determine o campo elétrico num ponto sobre o eixo
que passa pelo centro do disco, ortogonal ao mesmo, a uma distância r, como
ilustrado na figura.

Answer 1

OBSERVE A FIGURA

$\displaystyle \sf Temos :\\\\ E_{\text{resultante}} = E_x = E\cdot cos(\theta) \\\\\\ Ex = \frac{k\cdot Q}{L^2 } \cdot cos(\theta)\\\\\\ dE_x = \frac{dQ}{4\pi \cdot \epsilon_o\cdot L^2 }\cdot Cos(\theta) \\\\\\ Por{\'em}} : \\\\ \sigma = \frac{ \sum Q}{\text{Area}_{anel }} \to \sigma = \frac{dQ}{2\pi\cdot a' \cdot da' } \to dQ = \sigma \cdot 2\pi\cdot a'\cdot da' \\\\ a' < a \\\\ cos(\theta) = \frac{r}{L}\\\\\\ L = \sqrt{a^2+r^2 } \\\\\\ Da{\'i}} :$

$\displaystyle \sf dE_x = \frac{\sigma \cdot 2\pi \cdot a\cdot da}{4\pi \cdot \epsilon_o\cdot L^2 }\cdot \frac{r}{L} \\\\\\ dE_x = \frac{\sigma \cdot 2 \cdot a\cdot da}{4 \cdot \epsilon_o\cdot L^3 } \\\\\\ \int dE_x = \int\limits^a_0 \frac{\sigma \cdot r}{4\cdot \epsilon_o} \cdot \frac{2\cdot a' \cdot da'}{\left[ \sqrt{(a')^2+r^2 }\right]^3 }$

$\displaystyle \sf E_x = \frac{\sigma \cdot r}{4\cdot \epsilon_o}\cdot \int\limits^a_0 \frac{2\cdot a' \cdot da'}{\left[ \sqrt{(a')^2+r^2 }\right]^3 } \\\\\\ \text{Fa{\c c}amos}: \\\\ u = (a')^2 +r^2 \to du = 2\cdot a' \cdot da' \\\\ Da{\'i}} : \\\\ E_x = \frac{\sigma \cdot r}{4\cdot \epsilon_o}\cdot \int\limits^a_0 u^{\frac{-3}{2}} du \\\\\\ E_x = \frac{\sigma \cdot r}{4\cdot \epsilon_o}\cdot \left \frac{u^{\left(\frac{-3}{2}+1\right)}}{\displaystyle \frac{-3}{2}+1 } \right|\limits^a_0$

$\displaystyle \sf E_x = \frac{\sigma \cdot r}{4\cdot \epsilon_o}\cdot \left \frac{u^{\frac{-1}{2}}}{\displaystyle \frac{-1}{2}} \right|\limits^a_0 \\\\\\\ E_x = \frac{-2\cdot \sigma \cdot r}{4\cdot \epsilon_o}\cdot \left[ \frac{1}{(\sqrt{(a)^2+r^2)}} -\frac{1}{\sqrt{0^2+r^2}} \right] \\\\\\ E_x = \frac{\sigma }{2\cdot \epsilon_o}\cdot \left[ \frac{r}{r} - \frac{r}{\sqrt{a^2+r^2 }} \right]$

Portanto o campo elétrico será :

$\displaystyle \huge\boxed{\sf \ E_x =\frac{\sigma }{2\cdot \epsilon_o}\cdot \left [ 1-\frac{r}{\sqrt{a^2+r^2}} \right] \ }\checkmark$

obs: na imagem só trocar x por r e o raio por a