Question

Um disco com 0, 3 m de raio deve girar de um ângulo de 1200 rad, partindo do repouso, ganhando velocidade angular a uma taxa constante α1 nos primeiros 600 rad e, em seguida, perdendo velocidade angular a uma taxa constante −α1 até ficar novamente em repouso. O módulo da aceleração centrípeta de qualquer parte do disco não deve exceder 450 m/s2. Determine o menor tempo necessario para o
movimento e o valor de α1.

Answer 1

O problema pede o menor tempo e a aceleração angular necessários para que um disco gire 1200 rad. Sendo que esse disco não pode ultrapassar 450 m/s² de aceleração centrípeta;

 

Inicialmente, partindo do repouso, a velocidade angular aumenta linearmente, com uma taxa $\alpha$;

A velocidade angular $\omega$ atinge seu máximo em $\theta = 600 rad$;

A velocidade angular máxima deve ser tal que a aceleração centrípeta não passe dos 450 m/s², em qualquer parte do disco;

Após os 600 rad, a velocidade angular começa a decrescer, com a mesma taxa ($- \alpha$), até atingir o repouso novamente;

 

Descobrindo a velocidade angular máxima $\omega_{max}$, para então sabermos a aceleração angular $\alpha$:

 

Sabemos que a aceleração centrípeta não pode exceder 450 m/s²:

$a_c$< 450 m/s²

 

A equação da aceleração centrípeta para o Movimento Circular Uniforme é:

 

$a_c = \frac{v^2}{r}$

 

Ou seja:

 

$a_c \ \textless \ 450 m/s^2$

$\frac{v^2}{r} \ \textless \ 450 m/s^2$

 

Temos que as velocidades dos movimentos rotacional e translacional se relacionam por:

 

$\omega = \frac{v}{r}$

$v=\omega*r$

 

Com isso:

 

$\frac{v^2}{r} \ \textless \ 450 m/s^2$

$\frac{\omega^2*r^2}{r} \ \textless \ 450 m/s^2$

$\omega^2*r \ \textless \ 450 m/s^2$

 

$\omega \ \textless \ \sqrt(\frac{450}{0,3})$

 

$\omega \ \textless \ 38,72 rad/s$ (38,729 truncado)

 

Perceba que toda a velocidade angular deve ser menor do que o valor encontrado, ou seja, essa é a velocidade angular máxima desejada;

O ângulo percorrido para atingir a $\omega_{max} = 38,72 rad/s$ é de $\theta = 600 rad$, logo:

 

Com a aplicação da equação de Torricelli, para o movimento rotacional, temos:

$w_f^2=w_0^2+2*\alpha*\theta$

Como nossos $\omega_0$ e  $\theta_0$ são zero, temos:

$w_f^2=2*\alpha*\theta$

$\alpha=\frac{w_f^2}{2*\theta}$

 

$\alpha = \frac{38,72^2[rad/s]}{ 2* 600 [rad]}$

 

$\alpha = 1,25 rad/s^2$ (1,2493 arredondado)

 

Essa é a aceleração angular máxima possível, de forma a não atingir a aceleração centrípeta limite. Com ela o menor tempo possível pode ser calculado.

A equação do movimento (do movimento rotacional) pode ser aplicada:

 

$\theta = \theta_i+\omega_i*t+\frac{1}{2}*\alpha*t^2$

Como os valores iniciais de $\theta$ e $\omega$ são nulos:

$\theta=1/2*\alpha*t^2$

$t=\sqrt\frac{2*\theta}{\alpha}$

$t= 30,98 s$

Esse tempo é apenas metade do tempo necessário, uma vez que utilizamos somente metade da trajetória, logo:

$t_{total}=2*32,98 s=65,96 s$