Question

um diretor de escola dispõe de 10 alunos das quais 4 são membros do Grêmio para organizar um grupo de 7 alunos para participar de uma competição de matemática. o número de formas de compor esse grupo com pelo menos um membro do Grêmio é:​

Answer 1

Para saber quantos grupos são possíveis de formar com estes 10 alunos, vamos ter que saber quantas combinações de 7 é possível fazer com 10 alunos:

$C_{10,7}=\frac{10!}{7!3!}=\frac{10.9.8}{3.2}= \frac{720}{6} =120$

É possível formar este grupo de 120 formas distintas.

Agora raciocina comigo, são 10 alunos onde 4 são do Grêmio, isso quer dizer que 6 não são do Grêmio. Como terei que formar um grupo de 7 alunos, mesmo que eu pegue todos os 6 que não são do Grêmio, terei que pegar pelo menos um que faça parte do Grêmio. Logicamente concluímos que em todas as 120 formas de compor esse grupo, terá pelo menos um membro do Grêmio.

Resposta: 120 formas.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Há 10 alunos no total, sendo que 4 são membros do Grêmio e 10 - 4 = 6 não são. 7 alunos serão escolhidos. Assim, pelo menos um membro do Grêmio será escolhido, pois há apenas 6 alunos que não são do Grêmio

A ordem de escolha dos alunos não importa, usaremos combinação

$\sf \dbinom{10}{7}=\dbinom{10}{3}$

Esses números binomiais são iguais, pois 7 + 3 = 10. Dizemos que são complementares. Isso ocorre porque escolher 7 entre os 10 alunos para o grupo é o mesmo que escolher os 3 que não farão parte do grupo

$\sf \dbinom{10}{7}=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{3!}$

$\sf \dbinom{10}{7}=\dfrac{720}{6}$

$\sf \red{\dbinom{10}{7}=120~formas}$