Question

Um diâmetro de base de um cone equilátero mede 8 cm. Calcule, desse cone:
a) a área lateral;
b) a área total;
c) o volume;
d) a medida 0, em radianos, do arco do setor circular obtido pelo desenvolvimento da superfície lateral.

Answer 1

Um cone equilátero é um cone reto, no qual a seção meridiana é um triângulo equilátero, isto é:
Se cortarmos um cone por um plano que contenha o seu eixo, o resultado do corte é um triângulo equilátero. Então, sua geratriz (g) é igual ao seu diâmetro (d), ou o dobro de seu raio (r):
g = d = 2r 

a) A área lateral do cone é a área de um setor circular, no qual o raio é a geratriz do cone e o comprimento do arco é igual ao comprimento da base do cone. Assim, a área deste setor circular (As) será:
As = π × r × g
As = 3,14 × 4 cm × 8 cm
As = 100,48 cm²
R.: A área lateral do cone é igual a 100,48 cm²

b) A área total (At) é igual à soma da área da base (Ab) com a área lateral (As):
At = Ab + As
A área da base (Ab) é a área de um círculo de raio igual a r (4 cm):
Ab = π × r²
Ab = 3,14 × 4²
Ab = 50,24 cm²
Assim, a área total é igual a:
At = 50,24 cm² + 100,48 cm²
At = 150,72 cm²
R.: A área total do cone é igual a 150,72 cm²

c) O volume do cilindro (V) é igual a 1/3 da área da base (Ab) pela altura (h):
V = Ab × h ÷ 3
Como já conhecemos a área da base, precisamos calcular a altura (h):
- A altura (h) é um cateto de um triângulo retângulo, no qual o outro cateto é o raio da base (r) e a hipotenusa é a geratriz (g). Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, obtemos:
g² = h² + r²
h² = g² - r²
h² = 8² - 4²
h² = 64 - 16
h = √48
h = 6,93 cm
Então, o volume é igual a:
V = 50,24 cm² × 6,93 cm
V = 348,16 cm³
R.: O volume do cone é igual a348,16 cm³

d) A medida do ângulo do setor circular pode ser obtida por uma regra de três:
o comprimento da circunferência completa corresponde a 360º ou 2πrad;
o comprimento do  setor circular corresponde a xº ou xrad
- Precisamos, então, obter o comprimento (c) de uma circunferência de raio igual a g:
c = 2 × π × g
c = 2 × 3,14 × 8 cm
c = 50,24 cm
- Precisamos obter o comprimento (c1) do setor circular, que sabemos ser igual ao comprimento da circunferência da base do cone:
c1 = 2 × π × r
c1 = 6,28 × 4 cm
c1 = 25,12 cm

Agora, a regra de três:
     c    --->    c1
2πrad  --->   x rad

50,24  --->  25,12
2πrad --->   x rad

Multiplicando-se os meios pelos extremos:
50,24x = 25,12 × 2πrad
x = 50,24 × πrad ÷ 50,24
x = πrad

R.: A medida do setor circular correspondente ao desenvolvimento da superfície lateral do cone é igual a πrad.