Question

Um determinado modelo de teclado possui 36 teclas brancas. É também conhecido como modelo de 5 oitavas. A mesma tecla correspondente à nota dó, que é o fim de uma oitava tembém é o início de outra. Considere que todas as teclas brancas têm a mesma probabilidade de serem tocadas. Determine a probabilidade de alguém tocar ao acaso duas teclas brancas distintas correspondentes a uma mesma nota, por exemplo, duas notas dó ou duas notas ré ou duas notas si etc.

Answer 1

Resposta:  5/42.

Explicação passo a passo:

Um teclado comum de 5 oitavas possui

    •  6 teclas correspondentes à nota dó;

    •  5 teclas correspondentes à nota ré;

    •  5 teclas correspondentes à nota mi;

    •  5 teclas correspondentes à nota fá;

    •  5 teclas correspondentes à nota sol;

    •  5 teclas correspondentes à nota lá;

    •  5 teclas correspondentes à nota si;

totalizando 36 teclas brancas.

    dó ____ dó ____ dó ____ dó ____ dó ____ dó

•  Quantidade de eventos possíveis  $\mathsf{\#(\Omega):}$

De quantas formas podemos tocar simultaneamente 2 teclas brancas quaisquer dentre as 36 disponíveis?

    $\mathsf{\#(\Omega)=C_{36,\,2}\qquad \checkmark}$

•  Quantidade de eventos favoráveis  $\mathsf{\#(E):}$

De quantas formas podemos tocar 2 teclas brancas, de modo que ambas correspondam à mesma nota?

    Para a nota dó, a quantidade é $\mathsf{C_{6,\,2};}$

    Para cada uma das notas ré, mi, fá, sol, lá e si, a quantidade é $\mathsf{C_{5,\,2}.}$

Logo, a quantidade de eventos favoráveis é

    $\mathsf{\#(E)=C_{6,\,2}+6\cdot C_{5,\,2}\qquad\checkmark}$

A probabilidade pedida é

    $\mathsf{p(E)=\dfrac{\#(E)}{\#(\Omega)}}\\\\\\ \mathsf{p(E)=\dfrac{C_{6,\,2}+6\cdot C_{5,\,2}}{C_{36,\,2}}}$

    $\large\begin{array}{l}\mathsf{p(E)=\dfrac{\frac{6!}{2!\,\cdot\,(6-2)!}+6\cdot \frac{5!}{2!\,\cdot\,(5-2)!}}{\frac{36!}{2!\,\cdot\,(36-2)!}}}\\\\ \mathsf{p(E)=\dfrac{\frac{6!}{2!\,\cdot\,4!}+6\cdot \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!}}{\frac{36!}{2!\,\cdot\,34!}}}\\\\ \mathsf{p(E)=\dfrac{\frac{1}{\diagup\!\!\!\!\! 2!}\cdot (\frac{6!}{4!}+6\cdot \frac{5!}{3!})}{\frac{1}{\diagup\!\!\!\!\! 2!}\cdot \frac{36!}{34!}}}\\\\ \mathsf{p(E)=\dfrac{\frac{6!}{4!}+6\cdot \frac{5!}{3!}}{\frac{36!}{34!}}}\\\\ \mathsf{p(E)=\dfrac{\frac{6\,\cdot\,5\,\cdot\,\diagup\!\!\!\!\! 4!}{\diagup\!\!\!\!\! 4!}+6\cdot\frac{5\,\cdot\,4\cdot\,\diagup\!\!\!\!\! 3!}{\diagup\!\!\!\!\! 3!}}{\frac{36\,\cdot\,35\cdot\,\diagup\!\!\!\!\!\! 34!}{\diagup\!\!\!\!\!\!34!}}}\end{array}$

    $\mathsf{p(E)=\dfrac{6\cdot 5+6\cdot 5\cdot 4}{36\cdot 35}}\\\\\\ \mathsf{p(E)=\dfrac{(6\cdot 5)\cdot 1+(6\cdot 5)\cdot 4}{(6\cdot 6)\cdot (5\cdot 7)}}\\\\\\ \mathsf{p(E)=\dfrac{(\diagup\!\!\!\! 6\cdot \diagdown\!\!\!\! 5)\cdot (1+4)}{(\diagup\!\!\!\! 6\cdot \diagdown\!\!\!\! 5)\cdot (6\cdot 7)}}\\\\\\ \mathsf{p(E)=\dfrac{1+4}{6\cdot 7}}$

    $\mathsf{p(E)=\dfrac{5}{42}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

P = 5/42 <= probabilidade pedida

Explicação passo-a-passo:

Temos 5 oitavas (grupos) de 8 notas musicais:

=> Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si, Dó ..note que a nota Dó é (simultaneamente) a 1ª e a última nota de cada oitava.

...isto implica que na 5ª oitava vamos ter uma nota "Dó" (final) que vai ser a última nota da 5ª oitava ...mas não vai ser a 1ª nota da 6ª oitava (porque a 6ª oitava não está representada no teclado)

Assim vamos ter no teclado o seguinte número de teclas/notas:

...6 teclas para a nota "Dó"

...5 teclas para qualquer das restantes 6 notas

Recorrendo ao conceito fundamental de probabilidade:

P = (Casos favoráveis)/(casos possíveis)

..teremos os casos possíveis definidos por: C(36/2)

..teremos os casos favoráveis definidos por C(6,2) para o "Dó" e por C(5,2) para cada uma das restantes 6 notas, donde resulta: C(6,2) + 6 . C(5,2)

..substituindo:

P = [C(6,2) + 6 . C(5,2)]/C(36,2)

..resolvendo:

P = [(6!/2!4!) + 6 . (5!/2!3!)] / (36!/2!34!)

P = [(6.5/2!) + 6 . (5.4/2!)] / (36.35/2!)

P = [(6.5/2) + 6 . (5.4/2)] / (36.35/2)

P = [(15) + 6 . (10)] / (36.35/2)

P = (75) / (630)

...simplificando MDC(75,630) = 15

P = 5/42 <= probabilidade pedida

Espero ter ajudado