Question

Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n x n, com no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 x 8.O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1/5.A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
4 x 4.
6 x 6.
9 x 9.
10 x 10.
11 x 11.

Answer 1

Alternativa D: 10 x 10.

Inicialmente, veja que ao posicionar a peça no tabuleiro, a sua zona de combate possui um número de peças equivalentes a duas vezes (n-1), pois a peça retira um quadrado do número de linhas e um quadrado do número de colunas.

Sabendo que a probabilidade é a razão entre o número de quadrados da zona de combate e o número total de quadrados restantes (n²-1), vamos montar uma expressão representando essa razão menor que 1/5. Assim:

$\frac{2n-2}{n^2-1}\leq \frac{1}{5} \\ \\ 10n-10\leq n^2-1 \\ \\ n^2-10n+9\geq 0$

Temos uma equação de segundo grau. Calculando as raízes, obtemos o seguinte:

$x_1=\frac{-(-10)+\sqrt{(-10)^2-4\times 1\times 9}}{2\times 1}=9 \\ \\ x_2=\frac{-(-10)-\sqrt{(-10)^2-4\times 1\times 9}}{2\times 1}=1$

Como um quadrado não forma um tabuleiro, podemos concluir que o valor de n é igual a 9 para que a probabilidade seja equivalente a 1/5. Portanto, o número mínimo de quadrados para que a probabilidade seja menor que esse valor é 10.