Um dado microrganismo aumenta sua população através da sua divisão em dois novos indivíduos que por sua vez se dividem em outros dois e assim sucessivamente, sendo que essa divisão acontece a cada 2 minutos. Quando essa população está presente em um alimento e atinge o número de 1.000.000 de indivíduos, o alimento é considerado impróprio para o consumo. Após a contaminação pelo primeiro individua, quanto tempo é necessário para que o alimento esteja impróprio?
Soluções para a tarefa
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3
Boa tarde
PG
u1 = 1
q = 2
soma
Sn = u1*(q^n - 1)/(q - 1)
com u1 = 1 e q = 2
Sn = 2^n - 1
Sn = 2^n - 1 = 1000000
2^n = 1000001
n = log(1000001)/log(2) = 6/0.30 = 20 dias
PG
u1 = 1
q = 2
soma
Sn = u1*(q^n - 1)/(q - 1)
com u1 = 1 e q = 2
Sn = 2^n - 1
Sn = 2^n - 1 = 1000000
2^n = 1000001
n = log(1000001)/log(2) = 6/0.30 = 20 dias
albertrieben:
se gostou da minha resposta, escolha como a melhor
Respondido por
2
Vamos lá.
Veja, Gabrielle, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o tempo para que o alimento se torne impróprio para o consumo, tendo em vista a contaminação por bactérias.
ii) Agora veja: como a cada 2 minutos as bactérias dobram a sua quantidade, então iremos ter uma PG (Progressão Geométrica), cujo primeiro termo (a₁) é igual a "1" (que é o aparecimento da primeira bactéria) e cuja razão (q) é igual a "2", pois elas dobram a quantidade a cada tempo específico.
iii) Assim, vamos aplicar a soma dos termos dessa PG, cuja fórmula é esta:
S ̪ = a₁*[qⁿ - 1] / (q-1)
Na fórmula acima, substituiremos S ̪ por "1.000.000" (que é a quantidade de bactérias que faz com que o alimento fique impróprio para o consumo); substituiremos "a₁" por "1" (que é o valor do primeiro termo da PG); e substituiremos "q" por "2" (que é o valor da razão da PG, pois a quantidade dobra a cada espaço de tempo específico). Assim, fazendo essas substituições, teremos:
1.000.000 = 1*[2ⁿ - 1]/(2-1) ------ desenvolvendo, teremos:
1.000.000 = [2ⁿ - 1]/1 --- ou apenas, o que é a mesma coisa:
1.000.000 = 2ⁿ - 1 ---- passando o "-1" para o 1º membro, teremos:
1.000.000 + 1 = 2ⁿ
1.000.001 = 2ⁿ ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
2ⁿ = 1.000.001 ---- vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, com o que ficaremos:
log₁₀ (2ⁿ) = log₁₀ (1.000.001) ---- passando o expoente "n" multiplicando, temos:
n*log₁₀ (2) = log₁₀ (1.000.001)
Agora note que:
log₁₀ (2) = 0,3010 (aproximadamente)
log₁₀ (1.000.001) = 6 (aproximadamente)
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
n*0,3010 = 6 ---- isolando "n", teremos:
n = 6/0,3010 ---- note que esta divisão dá "19,93", o que poderemos "arredondar" para "20". Assim, teremos que:
n = 20 minutos <--- Esta é a resposta. Ou seja, após cerca de 20 minutos este alimento já estará impróprio para o consumo.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Gabrielle, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o tempo para que o alimento se torne impróprio para o consumo, tendo em vista a contaminação por bactérias.
ii) Agora veja: como a cada 2 minutos as bactérias dobram a sua quantidade, então iremos ter uma PG (Progressão Geométrica), cujo primeiro termo (a₁) é igual a "1" (que é o aparecimento da primeira bactéria) e cuja razão (q) é igual a "2", pois elas dobram a quantidade a cada tempo específico.
iii) Assim, vamos aplicar a soma dos termos dessa PG, cuja fórmula é esta:
S ̪ = a₁*[qⁿ - 1] / (q-1)
Na fórmula acima, substituiremos S ̪ por "1.000.000" (que é a quantidade de bactérias que faz com que o alimento fique impróprio para o consumo); substituiremos "a₁" por "1" (que é o valor do primeiro termo da PG); e substituiremos "q" por "2" (que é o valor da razão da PG, pois a quantidade dobra a cada espaço de tempo específico). Assim, fazendo essas substituições, teremos:
1.000.000 = 1*[2ⁿ - 1]/(2-1) ------ desenvolvendo, teremos:
1.000.000 = [2ⁿ - 1]/1 --- ou apenas, o que é a mesma coisa:
1.000.000 = 2ⁿ - 1 ---- passando o "-1" para o 1º membro, teremos:
1.000.000 + 1 = 2ⁿ
1.000.001 = 2ⁿ ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
2ⁿ = 1.000.001 ---- vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, com o que ficaremos:
log₁₀ (2ⁿ) = log₁₀ (1.000.001) ---- passando o expoente "n" multiplicando, temos:
n*log₁₀ (2) = log₁₀ (1.000.001)
Agora note que:
log₁₀ (2) = 0,3010 (aproximadamente)
log₁₀ (1.000.001) = 6 (aproximadamente)
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
n*0,3010 = 6 ---- isolando "n", teremos:
n = 6/0,3010 ---- note que esta divisão dá "19,93", o que poderemos "arredondar" para "20". Assim, teremos que:
n = 20 minutos <--- Esta é a resposta. Ou seja, após cerca de 20 minutos este alimento já estará impróprio para o consumo.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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