Question

Um dado é lançado sucessivamente cinco vezes. De quantas formas possíveis pode aparecer duas vezes a face 5, duas vezes a face 1 e uma vez a face 6?​

Answer 1

Esse exercício se assemelha, ou melhor, utiliza o mesmo princípio de um exercício de anagramas com repetição, que são exaustivamente abordados quando estudamos a análise combinatória.

Como os resultados que serão vistos nos 5 lançamentos dos dados já foram informados, só temos uma questão a tratar: a ordenação destes resultados.

O número de maneiras diferentes de ordenação dos resultados obtidos será obtido pelo número de permutações possíveis destes 5 elementos (P₅).

Entretanto, há outro ponto que necessita atenção, é preciso observar que os números "5" e "1" se repetem duas vezes cada um e a permutação simples dos 5 resultados trata os elementos como sendo todos diferentes entre si. Dessa forma, estaremos contabilizando, por exemplo, como duas ordenações diferentes o caso em que há apenas a troca de lugar entre os dois algarismo "1".

Para contornar esse "problema", dividiremos o número de permutações dos 5 resultados pelo número de permutações dos dois algarismos "1" (P₂) e, também, pelo número de permutações dos dois algarismos "5" (P₂).

Assim, temos:

$\sf Total~de~formas~possiveis~=~\dfrac{P_5}{P_2\cdot P_2}\\\\\\Total~de~formas~possiveis~=~\dfrac{5!}{2!\cdot 2!}\\\\\\Total~de~formas~possiveis~=~\dfrac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 2\cdot 1}\\\\\\Total~de~formas~possiveis~=~\dfrac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4}\\\\\\Total~de~formas~possiveis~=~\dfrac{5\cdot \not\!4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{\not\!4}\\\\\\Total~de~formas~possiveis~=~5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\\\\\\boxed{\sf Total~de~formas~possiveis~=~30}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$