Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Sejam os eventos: A:"a soma dos pontos obtidos é 10^ prime prime B: "os números obtidos são distintos".Calcule P(A U B) .
Soluções para a tarefa
Resposta:
P(A U B) = 31/36
Resolução:
Terminologia:
Ω := espaço amostral (conjunto de todas as possibilidades)
|X| := número de elementos no conjunto X;
Evento X := subconjunto do espaço amostral em que dada propriedade é satisfeita.
Supondo um dado justo de 6 lados, observe que
1) o espaço amostral Ω apresenta um total de 6 × 6 = 36 resultados possíveis; logo, |Ω| = 36;
2) o evento B ocorre em um total de 6 × 5 = 30 resultados (pares de lances; logo, |B| = 30;
3) o evento A ocorre quando a jogada resulta em um entre os resultados de pares de lances abaixo:
A1) 4 e 6;
A2) 5 e 5;
A3) 6 e 4;
logo, |A| = 3.
Observe também que em A1 e A3, o evento B também ocorre. Ou seja, A ∩ B = {A1, A3} e, logo, |A ∩ B| = 2.
Façamos uso do
Princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
|A U B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.
Substituindo os valores que conhecemos na equação acima, temos
|A U B| = 3 + 30 - 2
|A U B| = 31.
Vamos também invocar a
Definição de probabilidade de um evento X em espaço amostral finito:
P(X) = |X| / |Ω|.
Então, temos
P(A U B) = |A U B| / |Ω|
P(A U B) = 31/36.