Question

Um dado é construído de maneira que, num lançamento, a probabilidade de ocorrência de um número é diretamente proporcional a esse número. Em um lançamento, a probabilidade de obtermos o número 6 é...?

Answer 1

A probabilidade de ocorrer o número $k$ é diretamente proporcional ao valor de $k,$ sendo

$\text{com }k\in \mathbb{N}\,;~~~~k=1,\;2,\;\ldots,\;6.$

Portanto,

$P(X=k)=\alpha\cdot k\,,~~~\text{ com }\alpha\text{ uma constante}\in \mathbb{R}.$

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A soma das probabilidades deve ser igual a $1.$ Logo

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{6}{P(X=k)}~~=1\\\\\\ \sum\limits_{k=1}^{6}{\alpha\cdot k}=1\\\\\\ \alpha\sum\limits_{k=1}^{6}{k}=1\\\\\\ \alpha\cdot (1+2+3+4+5+6)=1\\\\\\ \alpha\cdot 21=1\\\\\\ \alpha=\dfrac{1}{21}$


Portanto, a probabilidade de obtermos o número $6$ em um lançamento é

$P(X=6)\\\\ =\dfrac{1}{21}\cdot 6\\\\\\ =\dfrac{6}{21}\\\\\\ =\dfrac{\diagup\!\!\!\! 3\cdot 2}{\diagup\!\!\!\! 3\cdot 7}\\\\\\ =\dfrac{2}{7}\approx 28,6\%.$