Question

. Um curso pré-vestibular fornece cinco aulas por dia, cinco dias por semana. É uma aula
para cada frente de disciplina, com exceção de Matemática, que são 2 aulas por frente.
As disciplinas são: Matemática A, B e C, Língua Portuguesa, Redação, Literatura, Física A,
B e C, Química A, B e C, Biologia A, B e C, História A e B, Geografia A e B, Língua
Estrangeira, Sociologia e Filosofia. O número de maneiras diferentes que o horário desse
curso pode ser elaborado é

Answer 1

Acabei de responder essa mesma questão alguns minutos atras...

Simplificando o enunciado, o que temos é:

19 disciplinas com 1 aula cada

3 disciplinas com 2 aulas  cada

Para elaborar o horário, podemos proceder da seguinte maneira: Escolhemos uma permutação qualquer das 25 aulas. As 5 primeiras corresponderão as aulas de segunda feira, as 5 próximas as aulas de terça, e assim em diante.

Ou seja, o número de maneiras de se elebarar o horário é o número de permutações possíveis das aulas. E este último é uma permutação de 25 elementos com algumas repetições. Logo a resposta é

$\dfrac{25!}{2!2!2!} = \dfrac{25!}8$

Segunda maneira:

Podemos escolher 5 das 25 materias para serem as aulas de segunda feira. Depois permutamos essas materias, pois as aulas são em horários distintos. Podemos fazer isso de $\displaystyle\binom {25}5 5!$ maneiras.

Depois escolhemos 5 das 20 disciplinas restantes para serem as aulas de terça. Podemos fazer isso de $\displaystyle\binom {20}5 5!$ maneiras.

E assim sucessivamente. Dividimos no final por 2³ = 8 pois temos 3 aulas repetidas. Logo a resposta será

$\dfrac{ \displaystyle\binom {25}5 \binom {20}5\binom {15}5\binom {10}5\binom {5}5}{8} (5!)^5 = \dfrac{25!}{5!20!}\cdot\dfrac{20!}{5!15!}\cdot\dfrac{15!}{5!10!}\cdot\dfrac{10!}{5!5!}\cdot\dfrac{5!}{5!0!}\cdot\dfrac{(5!)^5}{8} = \dfrac{25!}{8}$