Question

um cubo de concreto tem 5 m de comprimento, 3 m de largura e 1 m de altura a temperatura de 20° C. Sendo seu coeficiente de dilatação linear igual a 2.10‐⁶ °C‐¹ , de quanto será o acréscimo do seu tamanho quando a temperatura atingir 200 °C ?


ALGUÉM ME AJUDA POR FAVOR ​

Answer 1

Olá. Boa tarde.

A questão se trata de dilatação dos sólidos, então vamos relembrar algumas coisas.

Existe : dilatação linear, dilatação superficial e dilatação volumétrica

onde os coeficientes de dilatação são :

$\alpha =$ coeficiente de dilatação linear

$\beta =$ coeficiente de dilatação superficial

$\gamma =$ coeficiente de dilatação volumétrica

e existe também a seguinte relação entre esses coeficientes, que é :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \frac{\alpha}{1} = \frac{\beta}{2} = \frac{\gamma}{3} }\end{center}$

As fórmulas são as seguintes :

Dilatação linear(variação do comprimento),que é dado por :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta L = L_o.\alpha.\Delta t }\end{center}$

onde :

$\Delta L =$ Variação/dilatação do comprimento

$L_o =$ Comprimento inicial

$\alpha =$ coeficiente de dilatação linear.

$\Delta t =$ variação da temperatura ( final menos inicial )

Dilatação superficial(variação da área), dado por :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta A = A_o.\beta.\Delta t }\end{center}$

onde :

$\Delta A =$ Variação da área.

$A_o =$ Área inicial.

$\beta =$ coeficiente de dilatação superficial.

$\Delta t =$ variação da temperatura.

Dilatação volumétrica( variação do volume), dado por :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta V = V_o.\gamma.\Delta t }\end{center}$

onde :

$\Delta V =$ variação do volume.

$V_o =$ volume inicial.

$\gamma=$ coeficiente de dilatação volumétrico.

$\Delta t =$ variação da temperatura.

Sabendo disso, vamos para  nossa questão :

A questão nos informa o seguinte :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle Comprimento = 5m }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle largura = 3m }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle altura = 1m }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \alpha = 2.10^{-6}^{\circ}C^{-1} }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle T_o = 20^{\circ}C }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle T = 200^{\circ}C }\end{center}$

1º. A questão nos dá um cubo e pede a variação do tamanho, se a questão deu o comprimento, altura e a largura, então ela quer a variação da área.

Então vamos substituir os respectivos valores na fórmula da variação da área, mas antes vamos achar a área total do cubo.

Sendo as dimensões de um cubo :

$comprimento = a$

$largura = b$

$altura = c$

Área total = $2(a.b + b.c + a.c)$

Substituindo os valores do enunciado :

$A_t = 2.(5.3 + 3.1 + 5.1 )$

$A_t = 2.( 15 + 3 + 5 )$

$A_t = 2.(23)$ ⇒ $\begin{center} \fbox{\displaystyle A_t = 46m^2 }\end{center}$

No caso essa é a área inicial do cubo.

Agora vamos substituir os valores na fórmula da variação da área :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta A = A_o.\beta.\Delta t }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta A = 46.\beta.(200-20) }\end{center}$

Sabendo da relação entre os coeficientes de dilatação, podemos achar o coeficiente $\beta$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \frac{\alpha}{1} = \frac{\beta}{2} \to \beta =2.\alpha }\end{center}$

Substituindo :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta A = 46.\beta.(200-20) }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta A = 46.2\alpha.(180) }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta A = 46.2.2.10^{-6}.(180) }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta A = 34560.10^{-6} }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle \Delta A = 0,34560m^2 }\end{center}$

Essa é a variação, então o tamanho final é a área inicial mais a variação :

$A_final = 46 + 0,34560$

$A_final = 46,34560m^2$