Question

Um crocodilo está caçando uma zebra localizada a 20 metros de distância na margem oposta do rio. Crocodilos viajam a velocidades diferentes em terra e na
água.

O tempo necessário para o crocodilo atingir a zebra pode ser minimizado se ele nadar até um determinado ponto, P, a x metros do outro lado do rio, como mostrado no diagrama:


O tempo necessário, T, medido em décimos de segundo, é dado por:


T (X) = 5 √ 36 + x^2 + 4( 20- x ....)

(a)

(i) Calcule o tempo necessário se o crocodilo não andar por terra.

(ii) Calcule o tempo necessário se o crocodilo nadar a menor distância possível.


(b) Entre estes dois extremos existe um valor x que minimiza o tempo

necessário. Encontre este valor de x e, assim, calcule o tempo mínimo possível.

Answer 1

(a)
(i) Calcule o tempo necessário se o crocodilo não andar por terra.

C=ponto onde está o crocodilo
Z=ponto onde está a zebra

Se ele não se deslocar pela terra, seu trajeto será o segmento CZ (somente pela água).
Logo x=20 m
Substituindo na equação
T (X) = 5 √ (36 + x²) + 4( 20- x) em décimos de segundo
T (20) = 5 √ (36 + 20²) + 4( 20- 20)
T (20) = 5 √ (36 + 20²)
T (20) = 5 √ (36 + 400)
T (20) = 5 √ 436
T (20) = 5 . 20,88
T (20) = 104,4 décimos de segundo
T (20) = 104,4 . 1/10 s
T (20) = 10,44 s

(ii) Calcule o tempo necessário se o crocodilo nadar a menor distância possível.
A menor distância possível é a perpendicular que passa pelo ponto onde está o crocodilo, ou seja x=0.
Substituindo na equação:
T (X) = 5 √ (36 + x²) + 4( 20- x) em décimos de segundo
T (0) = 5 √ (36 + 0²) + 4( 20- 0)
T (0) = 5 √ (36) + 4( 20)
T (0) = 5 . 6 + 4 . 20
T (0) = 30 + 80
T (0) = 110 décimos de segundo
T (0) = 110 . 1/10 segundos
T (0) = 11 s

(b) Entre estes dois extremos existe um valor x que minimiza o tempo
necessário. Encontre este valor de x e, assim, calcule o tempo mínimo possível.

Derive a função e iguale a 0 (zero).

T (X) = 5 √ (36 + x²) + 4( 20- x)
T (X) = [5 (36 + x²)]^(1/2) + (80 - 4 x)
T' (X) = 5.(1/2) .[(36 + x²)^(-1/2)].2x - 4
T' (X) = 5.[(36 + x²)^(-1/2)].x - 4
T' (X) = [5 x/ (36 + x²)^(1/2)] - 4
T' (X) = [5 x/ √(36 + x²)] - 4
T' (X) = 0
[5 x/ √(36 + x²)] - 4 = 0
[5 x/ √(36 + x²)] = 4
5 x = 4 . √(36 + x²) ()²
25x² = 16 .(36+x²)
25x² = 576 + 16x²
25x² - 16x² = 576
9x² = 576
x² = 576/9
x² = 64
x = √64
x' = -8
x" = +8

Como é uma medida (distância que varia entre 0 e 20 m), consideramos o valor positivo ---> x=8 m.

T (X) = 5 √ (36 + x²) + 4( 20- x)
T (8) = 5 √ (36 + 8²) + 4( 20- 8)
T (8) = 5 √ (36 + 64) + 4( 12 )
T (8) = 5 √ (100) + 48
T (8) = 5 . 10 + 48
T (8) = 50 + 48
T (8) = 98 décimos de segundo
T (8) = 98.1/10 segundos
T (8) = 9,8 s