Question

um cowboy joga uma moeda para o alto quando a moeda atinge sua altura máxima e dá um tiro nela com braço inclinando 60 graus em relação ao solo acertando a a moeda começa a cair em linha reta perpendicular mente o solo é com braço inclinado 45 graus em relação ao solo o caubói acerta mais um tiro nela sabendo que entre um tiro e outro a moeda caiu 12 m e que a altura do revólver em relação ao solo na hora dos dois disparos era de 2 m qual foi a altura máxima alcançada pela moeda​

Answer 1

O grande desafio desse exercício é montar um desenho esquemático para que se possa extrair todas informações necessárias.

Observe, no anexo, um exemplo de desenho para a situação do texto.

Pelo desenho podemos notar que os dois disparos efetuados formam um triangulo retângulo de base "d".

Sabemos que, nesses triângulos, a base tem mesma medida ("d"), pois foi estabelecido que a moeda cai em linha reta (sem deslocamento horizontal).

Como os triângulos são do tipo retângulo, podemos utilizar as relações de seno, cosseno e tangente. Vamos então analisar cada um individualmente.

Triangulo referente ao 1° disparo:  Podemos ver neste triangulo que temos o cateto oposto ao ângulo de 60° com medida "12+x" e cateto adjacente ao ângulo de 60°, a base do triangulo, com medida "d". Utilizando a relação da tangente:

$tan(\theta)~=~\frac{cat.~oposto}{cat.~adjacente}\\\\\\tan(60^\circ)~=~\frac{12+x}{d}\\\\\\\sqrt{3}~=~\frac{12+x}{d}\\\\\\12+x~=~\sqrt{3}\,.\,d\\\\\\\boxed{x~=~\sqrt{3}\,.\,d-12}$

Triangulo referente ao 2° disparo:  Podemos ver neste triangulo que temos o cateto oposto ao ângulo de 45° com medida "x" e cateto adjacente ao ângulo de 45°, a base do triangulo, com medida "d". Utilizando a relação da tangente:

$tan(\theta)~=~\frac{cat.~oposto}{cat.~adjacente}\\\\\\tan(45^\circ)~=~\frac{x}{d}\\\\\\1~=~\frac{x}{d}\\\\\\\boxed{d~=~x}$

Substituindo o valor de "d" na primeira equação pelo valor obtido na segunda equação, temos:

$x~=~\sqrt{3}\,.\,d-12\\\\\\x~=~\sqrt{3}\,.\,x-12\\\\\\\sqrt{3}\,.\,x-x~=~12\\\\\\x\,.\,(\sqrt{3}-1)~=~12\\\\\\\boxed{x~=~\frac{12}{\sqrt{3}-1}}$

Por fim, podemos calcular a máxima altura alcançada:

$Altura~Maxima~=~12m~+~x~+~2m\\\\\\Altura~Maxima~=~12m~+~\frac{12}{\sqrt{3}-1}~+~2m\\\\\\Altura~Maxima~=~14~+~\frac{12}{\sqrt{3}-1}\\\\\\Altura~Maxima~=~14~+~\frac{12}{\sqrt{3}-1}~.~\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\\\\\\Altura~Maxima~=~14~+~\frac{12\sqrt{3}+12}{\sqrt{3}^{\,2}-1}\\\\\\Altura~Maxima~=~14~+~\frac{12\sqrt{3}+12}{3-1}\\\\\\Altura~Maxima~=~14~+~\frac{12\sqrt{3}+12}{2}\\\\\\Altura~Maxima~=~14~+~6\sqrt{3}+6\\\\\\\boxed{Altura~Maxima~=~\left(20~+~6\sqrt{3}\right)\,m}\\\\ou$

$\boxed{Altura~Maxima~\approx~30,39\,m}$