Question

Um corredor de ums escola possui 8 lâmpadas, todas com interruptores independentes. De quantas maneiras é possível deixar pelo menos três dessas lâmpadas acesas?

A-256
B-236
C-219
D-164
E-155

Answer 1

É possível deixar pelo menos três dessas lâmpadas acessas de 219 maneiras.

Observe que a ordem da escolha não é importante. Então, utilizaremos a fórmula da Combinação:

• $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Perceba que queremos deixar pelo menos três lâmpadas acessas. Isso significa que podemos deixar três ou quatro ou cinco ou seis ou sete ou oito.

Para as três lâmpadas, existem:

$C(8,3)=\frac{8!}{3!5!}$

C(8,3) = 56 maneiras de escolha.

Para as quatro lâmpadas, existem:

$C(8,4)=\frac{8!}{4!4!}$

C(8,4) = 70 maneiras de escolha.

Para as cinco lâmpadas, existem:

$C(8,5)=\frac{8!}{3!5!}$

C(8,5) = 56 maneiras de escolha.

Para as seis lâmpadas, existem:

$C(8,6)=\frac{8!}{6!2!}$

C(8,6) = 28 maneiras de escolha.

Para as sete lâmpadas, existem:

$C(8,7)=\frac{8!}{7!1!}$

C(8,7) = 8 maneiras de escolha.

Para as oito lâmpadas, existe 1 maneiras apenas.

Portanto, o total de maneiras é igual a 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 219.