Question

Um corpo tem massa m = 20kg e está preso a uma mola de constante elástica k= 80 N/m. Por meio de uma ação externa distende- se a mola de 50 cm, abandona-se o conjunto que começa a oscilar efetuando um MHS na ausência de forças dissipativas. Determine: A) O período do movimento B) A frequência do movimento C) A amplitude da oscilação D) A energia mecânica total do sistema E) A velocidade do corpo quando passa pela posição de equilíbrio F) A aceleração máxima do corpo Me ajudem por favor, com os cálculos​

Answer 1

a) O período vale $T = 2\pi \sqrt{\frac{20kg}{80N/m}} = \pi \,{\rm segundos}$

Repare que invertemos k e m uma vez que $\omega=\frac{2\pi}{T}\impliesT=\frac{2\pi}{\omega}$

b) A frequência vale $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{\pi}$

c) A amplitude de oscilação vale 50 cm

Quando a fase $\phi$ for zero, a amplitude é dada pela posiçao inicial.

d) A energia mecânica total vale $E = \frac{kx^2}{2} = \frac{80N/m\times(0,5m)^2}{2}=20 Nm$

e) a velocidade do corpo na posição de equilíbrio vale $\sqrt\frac{k}{m}=\sqrt\frac{80}{20} = 2m/s$

f) a aceleração máxima do corpo vale $\frac{k}{m}=\frac{80}{20} = 4m/s^2$

As informações abaixo são suficientes para resolver obter as respostas acima:

As equações horárias do oscilador harmônico simples são:

$x(t) = A\cos(\omega t +\phi)$

$v(t) = -\omega A\rm{sen}(\omega t +\phi)$

$a(t) = -\omega^2 A\cos(\omega t +\phi)$

Onde A é a amplitude (dada pela posição inicial da massa), $\omega$ é a velocidade angular e $\phi$ é a fase.

Lembrete: podemos escrever $a(t) = -\omega^2 x(t)$ (repare que a diferença entre $a$ e $x$ é apenas o valor $\omega^2$

Estas equações são obtidas através de equações diferenciais e de cálculo numérico.

Ao analisar as forças, você precisa saber das duas leis abaixo:

Segunda lei de Newton nos diz que $F = ma$

Lei de Hooke nos diz que $F = -kx$

O sinal negativo aparece por que a força é restauradora.

Estas duas equações da força são iguais e por isso:

$ma = -kx\implies a=-\dfrac{k}{m}x$

Voltando para o lembrete acima, $a = -\omega^2 x \implies \omega^2=\frac{k}{m}$ e por isso definimos a velocidade angular $\omega$ como:

$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$

Lembrete: $f = \frac{1}{T}$ onde f é a frequência de oscilação e T é o período.

Por fim, o cálculo da energia total é a soma da da energia elástica e da energia cinética:

$E =m\dfrac{v^2}{2}+k\dfrac{x^2}{2}$

A energia total é sempre constante em todo o tempo t (na ausência de forças dissipativas).

Isto significa que quando a energia elástica for máxima, a  energia cinética será zero (e vice-versa) e assim a soma será sempre igual a E