Question

Um corpo flutua em água, com 7/8 do seu volume imersos. O mesmo corpo flutua em um líquido X com 5/6 do seu volume emersos. Qual a relação entre a massa específica do líquido X e a massa específica da água?

Answer 1

O que define o quanto um corpo ficará submerso num fluido?

Toda vez que um corpo é colocado dentro de um fluido ele está deslocando um volume de fluido igual ao volume submerso.

Se o corpo está boiando, há uma força de empuxo empurrando o corpo para cima. Pelo princípio de Arquimedes, a força de empuxo é igual o peso do fluido deslocado.

Como assim? Suponha que o objeto deslocou um volume $V_{desloc}$ de fluido. Esse volume possui uma massa.

Seja $\mu$ a massa específica desse fluido. A massa desse volume deslocado será $m=\mu V_{desloc}$ .

O empuxo é o peso dessa massa. Ou seja, $E=\mu g V_{desloc}$, onde $g$ é a aceleração da gravidade.

Se o objeto está boiando, isso quer dizer que a força peso dele é igual em módulo à força de empuxo.

Peso Objeto = Empuxo

O peso do objeto é a sua massa multiplicada pela aceleração da gravidade.

Se a massa específica do objeto é $\mu _ {obj}$ e seu volume é $V$, o peso será:

$P_{obj}=\mu_{obj} g V$

Temos então que:

$\displaystyle{\mu_{obj} g V =\mu g V_{desloc}}$

$\displaystyle{\boxed{V_{desloc}=\frac{\mu_{obj}}{\mu} V}}$

Essa é uma relação importante. Ela nos diz o quanto o objeto ficará submerso em determinado fluido.

No nosso problema temos que o objeto fica com 7/8 do seu volume submerso em água. Podemos escrever:

$\displaystyle{\frac{7}{8}V=\frac{\mu_{obj}}{\mu_{agua}} V}$

$\displaystyle{\frac{7}{8}=\frac{\mu_{obj}}{\mu_{agua}} }$

$\displaystyle{\frac{8}{7}\mu_{obj}=\mu_{agua} }$

No líquido X o objeto fica com 5/8 do volume submerso. Da mesma forma, podemos escrever:

$\displaystyle{\frac{5}{6}V=\frac{\mu_{obj}}{\mu_{x}} V}$

$\displaystyle{\frac{5}{6}=\frac{\mu_{obj}}{\mu_{x}}}$

$\displaystyle{\frac{6}{5}\mu_{obj}=\mu_{x} }$

Queremos achar:

$\displaystyle{\frac{\mu_{xj}}{\mu_{agua} }}$

Basta usar os valores que encontramos:

$\displaystyle{\frac{\mu_{xj}}{\mu_{agua} }=\frac{\frac{6}{5}\mu_{obj}}{\frac{8}{7}\mu_{obj}}}$

$\displaystyle{\frac{\mu_{xj}}{\mu_{agua} }=\frac{6\cdot7}{5\cdot8}=\frac{21}{20}$

Logo a razão entre a massa específica do líquido X e a massa específica da água é 21/20 e podemos concluir que a massa específica do líquido X é maior que a da água.