Question

Um corpo executa um movimento uniformemente variado sobre o eixo x, obedecendo a função horária x=3+2t-4t². Nesse caso, o tempo é dado em segundos e a distancia em metros
a- qual é a velocidade média entre os instantes t=0s e t=1s ?
b- qual a velocidade no instante t=2s ?

Answer 1

A velocidade média entre o intervalo [0, 1] e a velocidade no instante t = 2 é

                       $\Large\text{ \begin{gathered}v_{\text{m\'ed}} = -2\text{ m/s} \qquad v(2) = -14\text{ m/s}\end{gathered} }$

Na cinemática temos as relações integrais e diferencias da posição, velocidade e aceleração, sendo assim temos que:

                               $\Large\begin{gathered}\vec{v}(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)\qquad\vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}(t)\end{gathered}$

Portanto para achar a função da velocidade a partir da função posição temos que derivar a função posição.

Para velocidade média isso é simplificado, pegamos apenas o valor da posição nos tempos correspondentes, ou seja

                             $\Large\text{ \begin{gathered}v_{\text{m\'{e}d}} = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1 - t_0}\end{gathered} }$

Dito isso, vamos para a resolução em si.

a) Aplicando a definição de velocidade média para os valores desejados

                                        $\Large\text{ \begin{gathered}v_{\text{m\'{e}d}} = \frac{x(1)-x(0)}{1 - 0}\\ \\v_{\text{m\'{e}d}} = \frac{x(1)-x(0)}{1}\\ \\v_{\text{m\'{e}d}} = x(1)-x(0)\end{gathered} }$

Logo só precisamos calcular a posição nos tempos e fazer a diferença:

          $\Large\text{ \begin{gathered}v_{\text{m\'{e}d}} = \left(3+2\left(1\right)-4\left(1\right)^2\right) - \left(3+2\left(0\right)-4\left(0\right)^2\right)\\ \\v_{\text{m\'{e}d}} = 3 + 2 - 4 - 3\\ \\v_{\text{m\'{e}d}} = -2\text{ m/s}\\ \\\end{gathered} }$

b) Para achar a função da velocidade podemos aplicar a relação diferencial ou então como se trata de um movimento uniformimente variado podemos só comparar com a fórmula correspondente.

Método 1 - Relação diferencial

A derivada da soma é a soma das derivadas, logo ficaremos com 2 integrais de monômios, que são dadas por:

                                              $\Large\begin{gathered}\frac{d}{dx}x^n = n\cdot x^{n-1}\end{gathered}$

A constante sempre desaparece na derivação.

Aplicando na função posição

                         $\Large\begin{gathered}\vec{v}(t) = \frac{d}{dt}\vec{x}(t) = 1\cdot 2t^{1-1} - 2\cdot 4t^{2-1}\\ \\\vec{v}(t) = 2 - 8t\\ \\\end{gathered}$

Método 2 - Equações básicas da cinemática

Pela relações básicas da cinemática temos que no movimento uniformimente variado

                                       $\Large\begin{gathered}x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}\\ \\ v(t) = v_0 + at\end{gathered}$

Ou seja, o que multiplica t é a velocidade inicial, e o que multiplica t² é a/2, no caso da seguinte função

                                           $\Large\begin{gathered}x(t) = 3 + 2t-4t^2\end{gathered}$

O que multiplca t é 2, logo a velocidade inicial é 2, e o que multiplca t² é -4, portanto

                                        $\Large\begin{gathered}\frac{a}{2} = -4\\ \\a = -4\cdot 2 = -8\text{ m/s}^2\end{gathered}$

Então a função da velocidade é

                                                 $\Large\begin{gathered}v(t) = 2 -8t\end{gathered}$

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Agora basta aplicar t = 2 na função para achar a velocidade

                                              $\Large\begin{gathered}v(t) = 2 -8t\\ \\v(2) = 2 - 8\cdot 2\\ \\v(2) = -14\text{ m/s}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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