Question

Um corpo executa um movimento harmônico simples descrito pela equação x=4.cos(4πt) (SI)

a) Identifique a amplitude, a freqüência e o período do movimento.

b) Em que instante, após o início do movimento, o corpo passará pela posição x=0?

Answer 1

Em um movimento harmônico simples, a posição  x  do corpo em função do instante  t  pode ser descrita por uma equação na forma

    •   x(t) = A · cos(ωt + φ)          (i)


sendo

     •   A  a amplitude da oscilação;

     •   ω  a frequência angular do movimento (ou pulsação);


O período da oscilação é dado por

     T = 2π/ω          (ii)


e a frequência  f  do movimento é o inverso do período:

     f = 1/T = ω/(2π)          (iii)

—————

Para esta tarefa, temos

     x(t) = 4 · cos(4π · t)    (metros)


a)  Comparando com a forma da equação  (i),  temos que

     •  A amplitude é  A = 4 m;

     •  A pulsação é  ω = 4π  rad/s.


Dessa forma,

•  O período é

     T = 2π/ω

     T = 2π/(4π)

     T = 1/2 s

     T = 0,5 s


e a frequência é

     f = 1/T

     f = 1/(1/2)

     f = 2 Hz

—————

b)  Encontrar o  1º  instante  t > 0,  de  modo que a posição se anula:

     x(t) = 0

     4 · cos(4π · t) = 0

     cos(4π · t) = 0


mas  0 = cos(π/2).  Então, a equação acima fica

     cos(4π · t) = cos(π/2)


Resolvendo a igualdade de cossenos, devemos ter

     4π · t = ± π/2 + k · 2π


Dividindo os dois lados por  4π,

     t = ± π/(2 · 4π) + k · 2π/(4π)

     t = ± 1/8 + k · 1/2


Reduzindo as frações ao mesmo denominador,

     t = ± 1/8 + k · 4/8


Coloque  1/8  em evidência:

     t = 1/8 · (± 1 + k · 4)

     t = 1/8 · (4k ± 1)

     t = 1/8 · (4k – 1)     ou     t = 1/8 · (4k + 1)

onde  k  é um inteiro.


•   Para  k < 0,  encontramos valores negativos para  t  (não se aplica).

•   Para  k = 0,  encontramos

     t = 1/8 · (4 · 0 – 1)     ou     t = 1/8 · (4 · 0 + 1)

     t = – 1/8 s   (não serve)    ou     t = 1/8 s

     t = 1/8 s     <————    esta é a resposta.


O primeiro instante em que a posição se anula será  t = 1/8 s.


É importante observar que, como o movimento é oscilatório, a posição volta a se anular em outros instantes maiores que  1/8 s  (para outros valores inteiros de  k).


Bons estudos! :-)