Question

Um corpo está na iminência de escorregar sobre um plano inclinado de um ângulo θ com a horizontal. Demonstre que, nessas condições, tg θ = μ, onde μ é o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano inclinado.

Answer 1

• Adotando que o corpo está na iminência de movimento, podemos afirmar que as forças que atuam na direcão do plano inclinado ( Fat e Px ) possuem o mesmo valor :

$fat = px$

• Sendo Fat a força de atrito estático do corpo em contato com o plano, P o peso do corpo, Px e Py as componentes horizontais e verticais do peso respectivamente. E a força normal N sendo a força de reação da superfície, pois o corpo encontra-se encostado no plano.
• O desenho demonstra a disposição das forças que atuam no corpo no plano inclinado, já o diagrama de corpo livre demonstra os vetores de das forças, para que dessa maneira possamos entender com maior facilidade a atuação das forças.
• Pela disposição dos vetores podemos perceber que :

$px = p \times \sin(</em><em> </em><em>θ</em><em> ) \\ py = </em><em>p</em><em> </em><em>×</em><em>\cos(</em><em>θ</em><em> )$

• Para calcularmos uma força de atrito utilizamos a relação entre o coeficiente de atrito da superfície e a força de reação entre a superfície e o corpo, desta maneira :

$fat =</em><em> </em><em>μ</em><em>\times n$

• Já que o corpo encontra-se em repouso no eixo Y , podemos afirmar que :

$n = py = p \times \cos( </em><em>θ</em><em> )$

Dessa forma :

$μ \times p \times \cos(θ ) = p \times \sin( θ )$

Dividindo ambos os lados por P :

$μ \times \cos( θ ) = \sin(θ )$

Dividindo ambos os lados por cos(θ) :

$μ = \frac{ \sin( θ ) }{ \cos( θ ) }$

Pelas relações trigonométricas, temos que :

$\frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \tan( \alpha )$

logo μ = tan(θ)