Question

Um corpo é lançado verticalmente para cima de um ponto situado a 40m do solo com velocidade de 10m/s. Sendo g =10m/s² e considerando nula a resistência do ar, o tempo que o corpo leva para cair no solo é: *
-4 segundos
-3 segundos
-5 segundos
-2 segundos​

Answer 1

Após realizar os cálculos necessários, podemos afirmar que o tempo que o corpo leva para cair no solo é igual a 4 segundos.

Na resolução do exercício, usarei algumas variáveis (símbolos). Veja o significado delas:

$\displaystyle \text { \mathsf{S_{0} = espa{\c c}o~inicial~(m)} }\\\displaystyle \text { \mathsf{S = espa{\c c}o~final~(m)} }\\\displaystyle \text { \mathsf{\Delta S = varia{\c c}{\~a}o~de~espa{\c c}o~(S - S_{0})} }\\\displaystyle \text { \mathsf{V_{0} = velocidade~inicial~(m/s)} }\\\displaystyle \mathsf{V = velocidade~final~(m/s)}\\\displaystyle \text { \mathsf{a = acelera{\c c}{\~a}o~(m/s^{2})} }\\\displaystyle \mathsf{t = tempo~(s)}$

O tema abordado no exercício é lançamento vertical.

Lançamento vertical

É um tipo de movimento na qual um corpo é lançado verticalmente com uma velocidade inicial V. Perceba que:

• Quando o corpo está se movimentando para cima, a aceleração da gravidade retarda o movimento do corpo. Quanto é para baixo, há aceleração do corpo.
• O corpo sobe até alcançar uma altura máxima e, após, começa a cair em queda livre.

Como o lançamento vertical se trata de um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), podemos usar as fórmulas de tal conteúdo. São elas:

• Função horária do espaço no MRUV:

$\boxed{S = S_{0} + V_{0} . t + \dfrac{a . t^{2}}{2}}$

• Função horária do movimento no MRUV:

$\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{V = V_{0} + a . t} }}$

• Equação de Torriceli:

$\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{V^{2} = V_{0}^{2} + 2a . \Delta S} }}$

Resolução do exercício

Primeiramente devemos calcular o tempo de subida.

Organizando os dados:

• V₀ = 10m/s
• V = 0
• a = -10m/s (a aceleração deverá ter sinal negativo pois age no sentido oposto ao da velocidade).
• ΔS = ?

Substituindo na função horária da velocidade:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{V = V_{0} + a . t} }\\\large \displaystyle \mathsf{0 = 10 - 10 . t}\\\large \displaystyle \mathsf{- 10 = -10t} \\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{t = \dfrac{-10}{-10}} }\\\\\boxed{\large \displaystyle \mathsf{t = 1s}}$

O corpo demorou 1 segundo para subir.

Agora iremos calcular qual foi o deslocamento do corpo durante a subida. Aplicando a equação de Torricelli:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{V^{2} = V_{0}^{2} + 2a . \Delta S} }\\\large \displaystyle \text { \mathsf{0^{2} = 10^{2} + 2 . (-10) . \Delta S} }\\\large \displaystyle \mathsf{0 = 100 - 20\Delta S}\\\large \displaystyle \mathsf{-100 = -20\Delta S}\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\Delta S = \dfrac{-100}{-20}} }\\\\\boxed{\large \displaystyle \mathsf{\Delta S = 5m}}$

O corpo se deslocou 5 metros durante a subida.

Agora devemos calcular o tempo de descida. Para isso, usaremos a função horária no espaço:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{S = S_{0} + V_{0} . t + \dfrac{a . t^{2}}{2}} }\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\Delta S = V_{0} . t + \dfrac{a . t^{2}}{2}} }\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{45 = 0 . t + \dfrac{10 . t^{2}}{2}} }\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{45 = 5t^{2}} }\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{t^{2} = \dfrac{45}{5}} }\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{t^{2} = 9} }\\\large \displaystyle \text { \mathsf{t = \sqrt{9}} }$

$\boxed{\large \displaystyle \mathsf{t = 3}}$

O tempo de descida foi igual a 3 segundos

O tempo total que o corpo leva para cair no solo será a soma dos tempos de subida e descida:

$\boxed{\large \displaystyle \mathsf{1s + 3s = 4s}}$

O tempo que o corpo leva para cair no solo é igual a 4 segundos.

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Answer 2

O corpo demora 4 segundos para cair no solo.

• Observe que o movimento desse corpo é regido pela função horária da posição S(t) = S₀ + v₀⋅t + ½⋅a⋅t², tanto no período de subida quanto na descida.

$\large \sf S(t) = S_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}$

• Considere o solo como posição zero e sentido positivo convencionado para cima. Observe então que a aceleração da gravidade será negativa pois seu sentido é oposto ao convencionado.

S₀: posição inicial (40 m)

v₀: velocidade inicial (10 m/s)

a: aceleração da gravidade (g = −10 m/s²)

• Quando o corpo atingir o solo sua posição S(t) será zero. Substitua os valores e determine o tempo que o corpo leva para cair no solo.

$\large \sf 0 = 40 + 10 \cdot t - \dfrac{10 \cdot t^2}{2}$

0 = 40 + 10⋅t − 5t²

• Solucione essa equação do segundo grau por soma e produto de raízes ou Relações de Girard.

$\large \sf S = -\dfrac{b}{a}= -\left( \dfrac{10}{-5} \right) = 2\qquad e \qquad P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{40}{-5}= -8$

• Por cálculo mental, as raízes cuja soma é 2 e produto −8 são −2 e 4, portanto t₁ = −2 e t₂ = 4. Descarte a resposta negativa.

O corpo demora 4 segundos para cair no solo.

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