Question

Um corpo de peso P está suspenso em repouso pela
extremidade de uma lança de guindaste que está inclinada num
ângulo θ com a horizontal. A lança do guindaste, que tem peso
desprezível comparado com P, é apoiada em sua extremidade
superior por um cabo BC, que forma ângulo φ com a horizontal. a)
Determine a tração T no cabo e a pressão longitudinal L na lança
do guindaste em termos do peso P e dos ângulos θ e φ. B) Calcule
T e L para o caso em que θ = 30° e φ= 45° e P=100KN.

Answer 1

A tração T no cabo e a força L é dada por:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\|\vec{L}\| &= -\frac{\|\vec{P}\| \cos \Phi}{\sin(\Phi - \theta)}\qquad \|\vec{ T }\| = \frac{\|\vec{P}\|}{\sin\Phi - \cos \Phi \tan \theta}\end{aligned} }$

E para o item b, o resultado é:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\|\vec{T}\| = 334{,}606\text{kN}\\ \\\|\vec{L}\| = 273{,}205\text{kN}\end{aligned}$

 

Para resolver a questão temos que aplicar uma das equações básicas da estática, que é somatório de forças igual a zero:

                                              $\Large\displaystyle\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{n} \vec{F}_i = 0\end{aligned}$

No ponto B temos 3 forças atuando, a força T de tração, a força peso P e a força do guindaste L, portanto é necessário que:

                                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}\vec{T} +\vec{P} + \vec{L} = 0\end{aligned}$

Para isso temos que dividir em coodernadas x e y, logo:

    $\large\displaystyle\begin{aligned}\left(\|\vec{L}\|\cos \theta\hat{\imath} + \|\vec{L}\|\sin \theta\hat{\jmath}\right) + \left(\|\vec{T}\|\cos \Phi\hat{\imath} + \|\vec{T}\|\sin \Phi\hat{\jmath}\right) - \|\vec{P}\|\hat{\jmath}= 0\end{aligned}$

Podemos ainda reorganizar os termos:

   $\large\displaystyle\begin{aligned}\left(\|\vec{L}\|\cos \theta\hat{\imath} +\|\vec{T}\|\cos \Phi\hat{\imath}\right) + \left( \|\vec{L}\|\sin \theta\hat{\jmath} + \|\vec{T}\|\sin \Phi\hat{\jmath}\right) = \|\vec{P}\|\hat{\jmath}\end{aligned}$

Com isso chegamos a conclusão que:

   $\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\underbrace{\left(\|\vec{L}\|\cos \theta\hat{\imath} +\|\vec{T}\|\cos \Phi\hat{\imath}\right) }_{ = \, 0}+ \underbrace{\left( \|\vec{L}\|\sin \theta\hat{\jmath} + \|\vec{T}\|\sin \Phi\hat{\jmath}\right)}_{\, = \|\vec{P}\|\hat{\jmath}} = \|\vec{P}\|\hat{\jmath}\end{aligned} }$

Portanto:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}\|\vec{L}\|\cos \theta\hat{\imath} +\|\vec{T}\|\cos \Phi\hat{\imath} = 0 & (i)\\ \\\|\vec{L}\|\sin \theta\hat{\jmath} + \|\vec{T}\|\sin \Phi\hat{\jmath} = \|\vec{P}\|\hat{\jmath} & (ii)\end{cases}\end{aligned}$

A essa ponto podemos já considerar as equações em (i) como horizontais e as de (ii) como verticais, portanto irei remover os versores:                  

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}\|\vec{L}\|\cos \theta +\|\vec{T}\|\cos \Phi = 0 & (1)\\ \\\|\vec{L}\|\sin \theta + \|\vec{T}\|\sin \Phi = \|\vec{P}\| & (2)\end{cases}\end{aligned}$

Isolando L da equação (1) temos:

                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\|\vec{L}\| = -\frac{\|\vec{T}\| \cos\Phi }{\cos \theta}\quad (3)\end{aligned} }$

Substituindo L na equação (2) temos:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\left( -\frac{\|\vec{T}\| \cos\Phi }{\cos \theta}\right) \sin \theta + \|\vec{T}\| \sin \Phi = \|\vec{P}\| \\ \\\end{aligned} }$

Fazendo algumas simplicações:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}-\|\vec{T}\| \cos\Phi \tan \theta + \|\vec{T}\| \sin \Phi = \|\vec{P}\| \\ \\\|\vec{T}\|\left(\sin \Phi - \cos\Phi \tan \theta\right)= \|\vec{P}\| \\ \\\end{gathered}$

Portanto podemos escrever T em função de P como:

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\|\vec{ T }\| = \frac{\|\vec{P}\|}{\sin\Phi - \cos \Phi \tan \theta}\quad (4)\end{aligned} }$

Agora também podemos escrever L em função de P, basta subsituir a equação (4) em (3):

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\|\vec{L}\| &= -\frac{\|\vec{P}\|}{\sin\Phi-\cos\Phi\tan\theta}\cdot \frac{\cos \Phi}{\cos \theta}\\ \\\|\vec{L}\| &=- \frac{\|\vec{P}\| \cos \Phi}{\cos \theta \sin\Phi- \cos \theta\cos\Phi\tan\theta}\\ \\\end{aligned} }$

Podemos simplicar ainda para:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\|\vec{L}\| &=- \frac{\|\vec{P}\| \cos \Phi}{\sin\Phi\cos \theta-\cos\Phi \sin\theta}\\ \\\end{aligned} }$

E pela relação trigonométrica:

                   $\Large\displaystyle\begin{aligned}\sin(\Phi- \theta) = \sin\Phi\cos\theta- \cos\Phi\sin\theta\end{aligned}$

Simplificamos ainda mais para:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\|\vec{L}\| &= -\frac{\|\vec{P}\| \cos \Phi}{\sin(\Phi - \theta)}\\ \\\end{aligned} }$

Logo, L e T em função de P, θ e φ são:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\|\vec{L}\| &= -\frac{\|\vec{P}\| \cos \Phi}{\sin(\Phi - \theta)}\qquad \|\vec{ T }\| = \frac{\|\vec{P}\|}{\sin\Phi - \cos \Phi \tan \theta}\end{aligned} }$    

Para os casos onde:

$\|\vec{P}\| = 100\text{kN}\\ \\\Phi = 45^\circ\\ \\\theta = 30^\circ$

Temos:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\|\vec{T}\| = 334{,}606\text{kN}\\ \\\|\vec{L}\| = 273{,}205\text{kN}\end{aligned}$

 

Espero ter ajudado

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